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Sección 12.3 Ejercicios

1.

Demuestre la identidad

\begin{equation*} \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]. \end{equation*}
Pista
\begin{align*} \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 + \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right] & = \frac{1}{2} \left[ \langle x + y, x + y \rangle - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\ & = \frac{1}{2} \left[ \| {\mathbf x}\|^2 + 2 \langle x, y \rangle + \| {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\ & = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle. \end{align*}
2.

Muestre que \(O(n)\) es un grupo.

3.

Demuestre que las siguientes matrices son ortogonales. ¿Está alguna de estas matrices en \(SO(n)\text{?}\)

  1. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{equation*}
  2. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{5} & 2 / \sqrt{5} \\ - 2 /\sqrt{5} & 1/ \sqrt{5} \end{pmatrix} \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 4/ \sqrt{5} & 0 & 3 / \sqrt{5} \\ -3 / \sqrt{5} & 0 & 4 / \sqrt{5} \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}
  4. \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & - 2/3 \\ - 2/3 & 2/3 & 1/3 \\ -2/3 & 1/3 & 2/3 \end{pmatrix} \end{equation*}
Pista

(a) está en \(SO(2)\text{;}\) (c) no está en \(O(3)\text{.}\)

4.

Determine el grupo de simetría de cada una de las figuras en la Figura 12.3.1.

Figura 12.3.1.
5.

Sean \({\mathbf x}\text{,}\) \({\mathbf y}\text{,}\) y \({\mathbf w}\) vectores en \({\mathbb R}^n\) y \(\alpha \in {\mathbb R}\text{.}\) Demuestre las siguientes propiedades de los productos internos.

  1. \(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}\)

  2. \(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} + {\mathbf w} \rangle = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle + \langle {\mathbf x}, {\mathbf w} \rangle\text{.}\)

  3. \(\langle \alpha {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf x}, \alpha {\mathbf y} \rangle = \alpha \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.}\)

  4. \(\langle {\mathbf x}, {\mathbf x} \rangle \geq 0\) con igualdad exactamente cuando \({\mathbf x} = 0\text{.}\)

  5. Si \(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = 0\) para todo \({\mathbf x}\) en \({\mathbb R}^n\text{,}\) entonces \({\mathbf y} = 0\text{.}\)

Pista

(a) \(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}\)

6.

Compruebe que

\begin{equation*} E(n) = \{(A, {\mathbf x}) : A \in O(n) \text{ y } {\mathbf x} \in {\mathbb R}^n \} \end{equation*}

es un grupo.

7.

Demuestre que \(\{ (2,1), (1,1) \}\) y \(\{ ( 12, 5), ( 7, 3) \}\) son bases para el mismo reticulado.

Pista

Use la matriz unimodular

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
8.

Sea \(G\) un subgrupo de \(E(2)\) y supongamos que \(T\) es el subgrupo de traslaciones de \(G\text{.}\) Demuestre que el grupo puntual de \(G\) es isomorfo a \(G/T\text{.}\)

9.

Sea \(A \in SL_2({\mathbb R})\) y supongamos que los vectores \({\mathbf x}\) y \({\mathbf y}\) forman dos lados de un paralelogramo en \({\mathbb R}^2\text{.}\) Demuestre que el área de este paralelogramo es la misma la del paralelogramo de lados \(A{\mathbf x}\) y \(A{\mathbf y}\text{.}\)

10.

Demuestre que \(SO(n)\) es un subgrupo normal de \(O(n)\text{.}\)

Pista

Muestre que el núcleo de la función \(\det : O(n) \rightarrow {\mathbb R}^*\) es \(SO(n)\text{.}\)

11.

Muestre que cualquier isometría \(f\) en \({\mathbb R}^n\) es una función inyectiva.

12.

Demuestre o refute: Un elemento en \(E(2)\) de la forma \((A, {\mathbf x})\text{,}\) donde \({\mathbf x} \neq 0\text{,}\) tiene orden infinito.

13.

Demuestre o refute: Existe un subgrupo abeliano infinito de \(O(n)\text{.}\)

Pista

True.

14.

Sea \({\mathbf x} = (x_1, x_2)\) un punto del círculo unitario en \({\mathbb R}^2\text{;}\) es decir, \(x_1^2 + x_2^2 = 1\text{.}\) Si \(A \in O(2)\text{,}\) muestre que \(A {\mathbf x}\) también pertenece al círculo unitario.

15.

Sea \(G\) un grupo con un subgrupo \(H\) (no necesariamente normal) y un subgrupo normal \(N\text{.}\) Entonces \(G\) es un producto semidirecto de \(N\) por \(H\) si

  • \(H \cap N = \{ \identity \}\text{;}\)

  • \(HN=G\text{.}\)

Muestre que se cumple lo siguiente.

  1. \(S_3\) es el producto semidirecto de \(A_3\) por \(H = \{(1), (12) \}\text{.}\)

  2. El grupo de cuaterniones, \(Q_8\text{,}\) no puede ser escrito como un producto semidirecto (no trivial).

  3. \(E(2)\) es el producto semidirecto de \(O(2)\) por \(H\text{,}\) donde \(H\) consiste de todas las traslaciones en \({\mathbb R}^2\text{.}\)

16.

Determine cuál de los 17 grupos cristalográficos del plano preserva la simetría del patrón en la Figura 12.2.5.

17.

Determine cuál de los 17 grupos cristalográficos del plano preserva la simetría del patrón en la Figura 12.3.2.

Pista

\(p6m\)

Figura 12.3.2.
18.

Encuentre el grupo de rotaciones de un dodecahedro.

19.

Para cada uno de los 17 grupos cristalográficos del plano, dibuje un patrón mural que tenga ese grupo como grupo de simetría.