Saltar a contenido principal

Sección 9.3 Ejercicios

1.

Demuestre que \(\mathbb Z \cong n \mathbb Z\) para \(n \neq 0\text{.}\)

Pista

Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a \({\mathbb Z}\) por el Teorema 9.1.7.

2.

Demuestre que \({\mathbb C}^\ast\) es isomorfo al subgrupo de \(GL_2( {\mathbb R} )\) que consiste de las matrices de la forma

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}. \end{equation*}
Pista

Defina \(\phi: {\mathbb C}^* \rightarrow GL_2( {\mathbb R})\) como

\begin{equation*} \phi(a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}. \end{equation*}
3.

Demuestre o refute: \(U(8) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}\)

Pista

Falso.

4.

Demuestre que \(U(8)\) es isomorfo al grupo de matrices

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
5.

Muestre que \(U(5)\) es isomorfo a \(U(10)\text{,}\) pero \(U(12)\) no lo es.

6.

Muestre que las raíces \(n\)-ésimas de la unidad forman un grupo isomorfo a \({\mathbb Z}_n\text{.}\)

Pista

Defina una función de \({\mathbb Z}_n\) en el grupo de raíces \(n\)-ésimas de la unidad como \(k \mapsto \cis(2k\pi / n)\text{.}\)

7.

Muestre que cualquier grupo cíclico de orden \(n\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_n\text{.}\)

8.

Demuestre que \({\mathbb Q}\) no es isomorfo a \({\mathbb Z}\text{.}\)

Pista

Suponga que \({\mathbb Q}\) es cíclico e intente encontrar un generador.

9.

Sea \(G = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}\) y defina una operación binaria en \(G\) como

\begin{equation*} a \ast b = a + b + ab. \end{equation*}

Demuestre que \(G\) es un grupo con esta operación. Muestre que \((G, *)\) es isomorfo al grupo multiplicativo de los números reales distintos de cero.

10.

Muestre que las matrices

\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}

forman un grupo. Encuentre un isomorfismo de \(G\) con un grupo conocido de orden 6.

11.

Encuentre cinco grupos no isomorfos de orden 8.

Pista

Hay dos grupos no abelianos y tres grupos abelianos que no son isomorfos.

12.

Demuestre que \(S_4\) no es isomorfo a \(D_{12}\text{.}\)

13.

Sea \(\omega = \cis(2 \pi /n)\) una raíz \(n\)-ésima primitiva de la unidad. Demuestre que las matrices

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega^{-1} \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}

generan un grupo multiplicativo isomorfo a \(D_n\text{.}\)

14.

Muestre que el conjunto de todas las matrices de la forma

\begin{equation*} \begin{pmatrix} \pm 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}

es un grupo isomorfo a \(D_n\text{,}\) donde las entradas de la matriz están en \({\mathbb Z}_n\text{.}\)

15.

Liste todos los elementos de \({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)

16.

Encuentre el orden de cada uno de los siguientes elementos.

  1. \((3, 4)\) en \({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_6\)

  2. \((6, 15, 4)\) en \({\mathbb Z}_{30} \times {\mathbb Z}_{45} \times {\mathbb Z}_{24}\)

  3. \((5, 10, 15)\) en \({\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25}\)

  4. \((8, 8, 8)\) en \({\mathbb Z}_{10} \times {\mathbb Z}_{24} \times {\mathbb Z}_{80}\)

Pista

(a) 12; (c) 5.

17.

Demuestre que \(D_4\) no puede ser el producto directo interno de dos de sus subgrupos propios.

18.

Demuestre que el subgrupo de \({\mathbb Q}^\ast\) que consiste de elementos de la forma \(2^m 3^n\) para \(m,n \in {\mathbb Z}\) es un producto directo interno isomorfo a \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\)

19.

Demuestre que \(S_3 \times {\mathbb Z}_2\) es isomorfo a \(D_6\text{.}\) ¿Puede hacer una conjetura sobre \(D_{2n}\text{?}\) Demuestre su conjetura.

Pista

Haga el dibujo.

20.

Demuestre o refute: Todo grupo abeliano de orden divisible por 3 contiene un subgrupo de orden 3.

Pista

Verdadero.

21.

Demuestre o refute: Todo grupo no abeliano de orden divisible por 6 contiene un subgrupo de orden 6.

22.

Sea \(G\) un grupo de orden 20. Si \(G\) tiene subgrupos \(H\) y \(K\) de órdenes 4 y 5 respectivamente tales que \(hk = kh\) para todo \(h \in H\) y \(k \in K\text{,}\) demuestre que \(G\) es el producto directo interno de \(H\) y \(K\text{.}\)

23.

Demuestre o refute la siguiente aseveración. Sean \(G\text{,}\) \(H\text{,}\) y \(K\) grupos. Si \(G \times K \cong H \times K\text{,}\) entonces \(G \cong H\text{.}\)

24.

Demuestre o refute: Existe un grupo abeliano no cíclico de orden 51.

25.

Demuestre o refute: Existe un grupo abeliano no cíclico de orden 52.

Pista

Verdadero.

26.

Sea \(\phi : G \rightarrow H\) un isomorfismo de grupos. Muestre que \(\phi( x) = e_H\) si y solo si \(x=e_G\text{,}\) donde \(e_G\) y \(e_H\) son las identidades de \(G\) y \(H\text{,}\) respectivamente.

27.

Sea \(G \cong H\text{.}\) Muestre que si \(G\) es cíclico, entonces también lo es \(H\text{.}\)

Pista

Sea \(a\) un generador de \(G\text{.}\) Si \(\phi :G \rightarrow H\) es un isomorfismo, muestre que \(\phi(a)\) es un generador de \(H\text{.}\)

28.

Demuestre que cualquier grupo \(G\) de orden \(p\text{,}\) \(p\) primo, debe ser isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

29.

Muestre que \(S_n\) es isomorfo a un subgrupo de \(A_{n+2}\text{.}\)

30.

Demuestre que \(D_n\) es isomorfo a un subgrupo de \(S_n\text{.}\)

31.

Sean \(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) y \(\psi : G_2 \rightarrow G_3\) isomorfismos. Muestre que \(\phi^{-1}\) y \(\psi \circ \phi\) son ambos isomorfismos. Usando estos resultados, muestre que el isomorfismo de grupos define una relación de equivalencia en la clase de todos los grupos.

32.

Demuestre que \(U(5) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}\) ¿Puede generalizar este resultado para \(U(p)\text{,}\) donde \(p\) es primo?

33.

Escriba las permutaciones asociadas con cada elemento de \(S_3\) en la demostración del Teorema de Cayley.

34.

Un automorfismo de un grupo \(G\) es un isomorfismo consigo mismo. Demuestre que la conjugación compleja es un automorfismo del grupo aditivo de los números complejos; es decir, muestre que la función \(\phi( a + bi ) = a - bi\) es un isomorfismo de \({\mathbb C}\) a \({\mathbb C}\text{.}\)

35.

Demuestre que \(a + ib \mapsto a - ib\) es un automorfismo de \({\mathbb C}^*\text{.}\)

36.

Demuestre que \(A \mapsto B^{-1}AB\) es un automorfismo de \(SL_2({\mathbb R})\) para todo \(B\) en \(GL_2({\mathbb R})\text{.}\)

37.

Denotaremos el conjunto de todos los automorfismo de \(G\) como \(\aut(G)\text{.}\) Demuestre que \(\aut(G)\) es un subgrupo de \(S_G\text{,}\) el grupo de permutaciones de \(G\text{.}\)

38.

Encuentre \(\aut( {\mathbb Z}_6)\text{.}\)

Pista

Cualquier automorfismo de \({\mathbb Z}_6\) debe enviar al 1 en otro generador de \({\mathbb Z}_6\text{.}\)

39.

Encuentre \(\aut( {\mathbb Z})\text{.}\)

40.

Encuentre dos grupos \(G\) y \(H\) no isomorfos tales que \(\aut(G) \cong \aut(H)\text{.}\)

41.

Sea \(G\) un grupo y \(g \in G\text{.}\) Definamos una función \(i_g : G \rightarrow G\) como \(i_g(x) = g x g^{-1}\text{.}\) Demuestre que \(i_g\) define un automorfismo de \(G\text{.}\) Un automorfismo de este tipo se llama automorfismo interno. El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por \(\inn(G)\text{.}\)

42.

Demuestre que \(\inn(G)\) es un subgrupo de \(\aut(G)\text{.}\)

43.

¿Cuáles son los automorfismos internos del grupo de los cuaterniones \(Q_8\text{?}\) ¿Es \(\inn(G) = \aut(G)\) en este caso?

44.

Sea \(G\) un grupo y \(g \in G\text{.}\) Definamos las funciones \(\lambda_g :G \rightarrow G\) y \(\rho_g :G \rightarrow G\) como \(\lambda_g(x) = gx\) y \(\rho_g(x) = xg^{-1}\text{.}\) Muestre que \(i_g = \rho_g \circ \lambda_g\) es un automorfismo de \(G\text{.}\) El isomorfismo \(g \mapsto \rho_g\) se llama representación regular derecha de \(G\text{.}\)

45.

Sea \(G\) el producto directo interno de los subgrupos \(H\) y \(K\text{.}\) Muestre que la función \(\phi : G \rightarrow H \times K\) definida por \(\phi(g) = (h,k)\) para \(g =hk\text{,}\) donde \(h \in H\) y \(k \in K\text{,}\) es biyectiva.

Pista

Para mostrar que \(\phi\) es 1-1, sean \(g_1 = h_1 k_1\) y \(g_2 = h_2 k_2\) y considere \(\phi(g_1) = \phi(g_2)\text{.}\)

46.

Sean \(G\) y \(H\) grupos isomorfos. Si \(G\) tiene un subgrupo de orden \(n\text{,}\) demuestre que \(H\) también tiene un subgrupo de orden \(n\text{.}\)

47.

Si \(G \cong \overline{G}\) y \(H \cong \overline{H}\text{,}\) muestre que \(G \times H \cong \overline{G} \times \overline{H}\text{.}\)

48.

Demuestre que \(G \times H\) es isomorfo a \(H \times G\text{.}\)

49.

Sean \(n_1, \ldots, n_k\) enteros positivos. Muestre que

\begin{equation*} \prod_{i=1}^k {\mathbb Z}_{n_i} \cong {\mathbb Z}_{n_1 \cdots n_k} \end{equation*}

si y solo si \(\gcd( n_i, n_j) =1\) para \(i \neq j\text{.}\)

50.

Demuestre que \(A \times B\) es abeliano si y solo si \(A\) y \(B\) son abelianos.

51.

Si \(G\) es el producto directo interno de \(H_1, H_2, \ldots, H_n\text{,}\) demuestre que \(G\) es isomorfo a \(\prod_i H_i\text{.}\)

52.

Sean \(H_1\) y \(H_2\) subgrupos de \(G_1\) y \(G_2\text{,}\) respectivamente. Demuestre que \(H_1 \times H_2\) es un subgrupo de \(G_1 \times G_2\text{.}\)

53.

Sean \(m, n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Demuestre que \(\langle m,n \rangle = \langle d \rangle\) si y solo si \(d = \gcd(m,n)\text{.}\)

54.

Sean \(m, n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Demuestre que \(\langle m \rangle \cap \langle n \rangle = \langle l \rangle\) si y solo si \(l = \lcm(m,n)\text{.}\)

55. Grupos de orden \(2p\).

En esta serie de ejercios clasificaremos todos los grupos de orden \(2p\text{,}\) donde \(p\) es un primo impar.

  1. Supongamos que \(G\) es un grupo de orden \(2p\text{,}\) sonde \(p\) es un primo impar. Si \(a \in G\text{,}\) muestre que \(a\) tiene orden 1, 2, \(p\text{,}\) o \(2p\text{.}\)

  2. Supongamos que \(G\) tiene un elemento de orden \(2p\text{.}\) Demuestre que \(G\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_{2p}\text{.}\) Luego, \(G\) es cíclico.

  3. Supongamos que \(G\) no contiene un elemento de orden \(2p\text{.}\) Muestre que \(G\) contiene un elemento de orden \(p\text{.}\) {\em Ayuda}: Suponga que \(G\) no contiene un elemento de orden \(p\text{.}\)

  4. Supongamos que \(G\) no contiene un elemento de orden \(2p\text{.}\) Muestre que \(G\) contiene un elemento de orden 2.

  5. Sea \(P\) un subgrupo de \(G\) de orden \(p\) e \(y \in G\) de orden 2. Muestre que \(yP = Py\text{.}\)

  6. Supongamos que \(G\) no contiene un elemento de orden \(2p\) y que \(P = \langle z \rangle\) es un subgrupo de orden \(p\) generado por \(z\text{.}\) Si \(y\) es un elemento de orden 2, entonces \(yz = z^ky\) para algún \(2 \leq k \lt p\text{.}\)

  7. Supongamos que \(G\) no contiene un elemento de orden \(2p\text{.}\) Demuestre que \(G\) no es abeliano.

  8. Supongamos que \(G\) no contiene un elemento de orden \(2p\) y \(P = \langle z \rangle\) es un subgrupo de orden \(p\) generado por \(z\) e \(y\) es n elemento de orden 2. Muestre que podemos listar los elementos de \(G\) como \(\{z^iy^j\mid 0\leq i \lt p, 0\leq j \lt 2\}\text{.}\)

  9. Supongamos que \(G\) no contiene un elemento de orden \(2p\) y \(P = \langle z \rangle\) es un subgrupo de orden \(p\) generado por \(z\) e \(y\) es un elemento de orden 2. Demuestre que el producto \((z^iy^j)(z^ry^s)\) puede ser expresado como \(z^m y^n\) para ciertos enteros no negativos \(m, n\text{.}\) Luego, concluya que solo hay una posibilidad para un grupo no-abeliano de orden \(2p\text{,}\) debe ser por lo tanto el grupo que ya conocemos, el grupo dihedral.