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Sección 11.3 Ejercicios

1.

Demuestre que \(\det( AB) = \det(A) \det(B)\) para \(A, B \in GL_2( {\mathbb R} )\text{.}\) Esto muestra que el determinante es un homomorfismo de \(GL_2( {\mathbb R} )\) a \({\mathbb R}^*\text{.}\)

2.

¿Cuál de las siguientes funciones son homomorfismos? Si la función es un homomorfismo, cuál es el núcleo?

  1. \(\phi : {\mathbb R}^\ast \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})\) definida como

    \begin{equation*} \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \end{equation*}
  2. \(\phi : {\mathbb R} \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})\) definida como

    \begin{equation*} \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
  3. \(\phi : GL_2 ({\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}\) definida como

    \begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = a + d \end{equation*}
  4. \(\phi : GL_2 ( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) definida como

    \begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = ad - bc \end{equation*}
  5. \(\phi : {\mathbb M}_2( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}\) definida como

    \begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = b, \end{equation*}

    donde \({\mathbb M}_2( {\mathbb R})\) es el grupo aditivo de las matrices de \(2 \times 2\) con coeficientes en \({\mathbb R}\text{.}\)

Pista

(a) es un homomorfismo con núcleo \(\{ 1 \}\text{;}\) (c) no es un homomorfismo.

3.

Sea \(A\) una matriz de \(m \times n\text{.}\) Muestre que la multiplicación de matrices, \(x \mapsto Ax\text{,}\) define un homomorfismo \(\phi : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\text{.}\)

4.

Sea \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\) dada por \(\phi(n) = 7n\text{.}\) Demuestre que \(\phi\) es un homomorfismo de grupos. Encuentre el núcleo y la imagen de \(\phi\text{.}\)

Pista

Como \(\phi(m + n) = 7(m+n) = 7m + 7n = \phi(m) + \phi(n)\text{,}\) \(\phi\) es un homomorfismo.

5.

Describa todos los homomorfismos de \({\mathbb Z}_{24}\) a \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\)

Pista

Para cualquier homomorfismo \(\phi : {\mathbb Z}_{24} \rightarrow {\mathbb Z}_{18}\text{,}\) el núcleo de \(\phi\) es un subgrupo de \({\mathbb Z}_{24}\) y la imagen de \(\phi\) es un subgrupo de \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\) Ahora use el hecho de que la imagen de un generador es un generador.

6.

Describa todos los homomorfismos de \({\mathbb Z}\) a \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\)

7.

En el grupo \({\mathbb Z}_{24}\text{,}\) sean \(H = \langle 4 \rangle\) y \(N = \langle 6 \rangle\text{.}\)

  1. Liste los elementos en \(HN\) (usualmente escribimos \(H + N\) para estos grupos aditivos) y \(H \cap N\text{.}\)

  2. Liste las clases laterales en \(HN/N\text{,}\) mostrando los elementos en cada una de ellas.

  3. Liste las clases laterales en \(H/(H \cap N)\text{,}\) mostrando los elementos en cada una de ellas.

  4. Indique la correspondecia entre \(HN/N\) y \(H/(H \cap N)\) descrita en la demostración del Segundo Teorema de Isomorfía.

8.

Si \(G\) es un grupo abeliano y \(n \in {\mathbb N}\text{,}\) demuestre que \(\phi : G \rightarrow G\) definida como \(g \mapsto g^n\) es un homomorfismo de grupos.

9.

Si \(\phi : G \rightarrow H\) es un homomorfismo de grupos y \(G\) es abeliano, demuestre que \(\phi(G)\) también es abeliano.

Pista

Sean \(a, b \in G\text{.}\) Entonces \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b)\phi(a)\text{.}\)

10.

Si \(\phi : G \rightarrow H\) es un homomorfismo de grupos y \(G\) es cíclico, demuestre que \(\phi(G)\) también es cíclico.

11.

Muestre que un homomorfismo definido en un grupo cíclico está completamente determinado por su acción en el generador del grupo.

12.

Si un grupo \(G\) tiene exactamente un subgrupo \(H\) de orden \(k\text{,}\) demuestre que \(H\) es normal en \(G\text{.}\)

13.

Demuestre o refute: \({\mathbb Q} / {\mathbb Z} \cong {\mathbb Q}\text{.}\)

14.

Sea \(G\) un grupo finito y sea \(N\) un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Si \(H\) es un subgrupo de \(G/N\text{,}\) demuestre que \(\phi^{-1}(H)\) es un subgrupo de \(G\) de orden \(|H| \cdot |N|\text{,}\) donde \(\phi : G \rightarrow G/N\) es el homomorfismo canónico.

15.

Sean \(G_1\) y \(G_2\) grupos, y sean \(H_1\) y \(H_2\) subgrupos normales de \(G_1\) y \(G_2\) respectivamente. Sea \(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) un homomorfismo. Muestre que \(\phi\) induce un homomorfismo natural \(\overline{\phi} : (G_1/H_1) \rightarrow (G_2/H_2)\) si \(\phi(H_1) \subset H_2\text{.}\)

16.

Si \(H\) y \(K\) son subgrupos normales de \(G\) y \(H \cap K = \{ e \}\text{,}\) demuestre que \(G\) es isomorfo a un subgrupo de \(G/H \times G/K\text{.}\)

17.

Sea \(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) un epimorfismo de grupos. Sea \(H_1\) un subgrupo normal de \(G_1\) y supongamos que \(\phi(H_1) = H_2\text{.}\) Demuestre o refute que \(G_1/H_1 \cong G_2/H_2\text{.}\)

Pista

Encuentre un contraejemplo.

18.

Sea \(\phi : G \rightarrow H\) un homomorfismo de grupos. Muestre que \(\phi\) es 1-1 si y solo si \(\phi^{-1}(e) = \{ e \}\text{.}\)

19.

Dado un homomorfismo \(\phi :G \rightarrow H\) defina una relación \(\sim\) en \(G\) como \(a \sim b\) si \(\phi(a) = \phi(b)\text{.}\) Muestre que esta relación es de equivalencia y describa las clases de equivalencia.