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Sección 3.4 Ejercicios

1.

Encuentre todos los \(x \in {\mathbb Z}\) que satisfagan cada una de las siguientes ecuaciones.

  1. \(3x \equiv 2 \pmod{7}\)

  2. \(5x + 1 \equiv 13 \pmod{23}\)

  3. \(5x + 1 \equiv 13 \pmod{26}\)

  4. \(9x \equiv 3 \pmod{5}\)

  5. \(5x \equiv 1 \pmod{6}\)

  6. \(3x \equiv 1 \pmod{6}\)

Pista

(a) \(3 + 7 \mathbb Z = \{ \ldots, -4, 3, 10, \ldots \}\text{;}\) (c) \(18 + 26 \mathbb Z\text{;}\) (e) \(5 + 6 \mathbb Z\text{.}\)

2.

¿Cuál(es) de las siguientes tablas de multiplicación definidas en el conjunto \(G = \{ a, b, c, d \}\) forma(n) un grupo? Justifique su respuesta en cada caso.

  1. \begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & a & c & d & a \\ b & b & b & c & d \\ c & c & d & a & b \\ d & d & a & b & c \end{array} \end{equation*}
  2. \begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & a & b & c & d \\ b & b & a & d & c \\ c & c & d & a & b \\ d & d & c & b & a \end{array} \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & a & b & c & d \\ b & b & c & d & a \\ c & c & d & a & b \\ d & d & a & b & c \end{array} \end{equation*}
  4. \begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \circ & a & b & c & d \\ \hline a & a & b & c & d \\ b & b & a & c & d \\ c & c & b & a & d \\ d & d & d & b & c \end{array} \end{equation*}
Pista

(a) No es un grupo; (c) es un grupo.

3.

Complete tablas de Cayley para los grupos formados por las simetrías de un rectángulo y para \(({\mathbb Z}_4, +)\text{.}\) ¿Cuántos elementos hay en cada grupo? ¿Son iguales estos grupos? ¿Por qué o por qué no?

4.

Describa las simetrías de un rombo y demuestre que el conjunto de simetrías forma un grupo. Complete tablas de Cayley tanto para las simetrías de un rectángulo como para las simetrías de un rombo. ¿Son iguales estos grupos?

5.

Describa las simetrías de un cuadrado y demuestre que el conjunto de tales simetrías es un grupo. Complete una tabla de Cayley para las simetrías. ¿De cuántas maneras es posible permutar los vértices de un cuadrado? ¿Corresponde cada una de estas permutaciones a una simetría del cuadrado? El grupo de simetrías del cuadrado se denota por \(D_4\text{.}\)

6.

Complete una tabla de multiplicación para el grupo \(U(12)\text{.}\)

Pista
\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \cdot & 1 & 5 & 7 & 11 \\ \hline 1 & 1 & 5 & 7 & 11 \\ 5 & 5 & 1 & 11 & 7 \\ 7 & 7 & 11 & 1 & 5 \\ 11 & 11 & 7 & 5 & 1 \end{array} \end{equation*}
7.

Sea \(S = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}\) y defina una operación binaria en \(S\) por \(a \ast b = a + b + ab\text{.}\) Demuestre que \((S, \ast)\) es un grupo abeliano.

8.

Dé un ejemplo de dos elementos \(A\) y \(B\) en \(GL_2({\mathbb R})\) con \(AB \neq BA\text{.}\)

Pista

Elija dos matrices. Casi cualquier par sirve.

9.

Demuestre que el producto de dos matrices en \(SL_2({\mathbb R})\) tiene determinante uno.

10.

Demuestre que el conjunto de matrices de la forma

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

es un grupo con la operación de multiplicación de matrices. Este grupo, conocido como el grupo de Heisenberg, es importante en mecánica cuántica. La multiplicación de matrices en el grupo de Heisenberg se define por

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x' & y' \\ 0 & 1 & z' \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x+x' & y+y'+xz' \\ 0 & 1 & z+z' \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
11.

Demuestre que \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) en \(GL_2({\mathbb R})\text{.}\) Use este resultado para mostrar que la operación binaria en el grupo \(GL_2({\mathbb R})\) es cerrada; es decir, si \(A\) y \(B\) están en \(GL_2({\mathbb R})\text{,}\) entonces \(AB \in GL_2({\mathbb R})\text{.}\)

12.

Sea \({\mathbb Z}_2^n = \{ (a_1, a_2, \ldots, a_n) : a_i \in {\mathbb Z}_2 \}\text{.}\) Defina una operación binaria en \({\mathbb Z}_2^n\) por

\begin{equation*} (a_1, a_2, \ldots, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n). \end{equation*}

Demuestre que \({\mathbb Z}_2^n\) es un grupo con esta operación. Este grupo es importante en la teoría de códigos algebraicos.

13.

Muestre que \({\mathbb R}^{\ast} = {\mathbb R} \setminus \{0 \}\) es un grupo con la operación de multiplicación.

14.

Dados dos grupos \({\mathbb R}^{\ast}\) y \({\mathbb Z}\text{,}\) sea \(G = {\mathbb R}^{\ast} \times {\mathbb Z}\text{.}\) Defina una operación binaria \(\circ\) en \(G\) por \((a,m) \circ (b,n) = (ab, m + n)\text{.}\) Muestre que \(G\) es un grupo con esta operación.

15.

Demuestre o refute que todo grupo con seis elementos es abeliano.

Pista

Hay un grupo no abeliano con seis elementos.

16.

Dé un ejemplo explícito de algún grupo \(G\) y elementos \(g, h \in G\) con \((gh)^n \neq g^nh^n\text{.}\)

Pista

Considere el grupo de simetrías de un triángulo equilátero o de un cuadrado.

17.

Dé un ejemplo de tres grupos diferentes con ocho elementos. ¿Por qué son diferentes estos grupos?

Pista

Hay cinco grupos diferentes de orden 8.

18.

Muestre que hay \(n!\) permutaciones de un conjunto de \(n\) elementos.

Pista

Sea

\begin{equation*} \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \end{equation*}

en \(S_n\text{.}\) Todos los \(a_i\) deben ser distintos. Hay \(n\) forman de elegir \(a_1\text{,}\) \(n-1\) formas de elegir \(a_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) 2 formas de elegir \(a_{n - 1}\text{,}\) y solo una forma de elegir \(a_n\text{.}\) Por lo tanto, podemos formar \(\sigma\) de \(n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1 = n!\) maneras.

19.

Muestre que

\begin{equation*} 0 + a \equiv a + 0 \equiv a \pmod{ n } \end{equation*}

para todo \(a \in {\mathbb Z}_n\text{.}\)

20.

Demuestre que existe una identidad multiplicativa para los enteros módulo \(n\text{:}\)

\begin{equation*} a \cdot 1 \equiv a \pmod{n}. \end{equation*}
21.

Para cada \(a \in {\mathbb Z}_n\) encuentre un elemento \(b \in {\mathbb Z}_n\) tal que

\begin{equation*} a + b \equiv b + a \equiv 0 \pmod{ n}. \end{equation*}
22.

Muestre que la suma y el producto mód \(n\) son operaciones bien definidas. Es decir, muestre que no dependen de la elección de representantes de las clases de equivalencia mód \(n\text{.}\)

23.

Muestre que la suma y el producto mód \(n\) son operaciones asociativas.

24.

Muestre que la multiplicación distribuye sobre la suma módulo \(n\text{:}\)

\begin{equation*} a(b + c) \equiv ab + ac \pmod{n}. \end{equation*}
25.

Sean \(a\) y \(b\) elementos en un grupo \(G\text{.}\) Demuestre que \(ab^na^{-1} = (aba^{-1})^n\) para \(n \in \mathbb Z\text{.}\)

Pista
\begin{align*} (aba^{-1})^n & = (aba^{-1})(aba^{-1}) \cdots (aba^{-1})\\ & = ab(aa^{-1})b(aa^{-1})b \cdots b(aa^{-1})ba^{-1}\\ & = ab^na^{-1}. \end{align*}
26.

Sea \(U(n)\) el grupo de unidades en \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Si \(n \gt 2\text{,}\) demuestre que hay un elemento \(k \in U(n)\) tal que \(k^2 = 1\) y \(k \neq 1\text{.}\)

27.

Demuestre que el inverso de \(g _1 g_2 \cdots g_n\) es \(g_n^{-1} g_{n-1}^{-1} \cdots g_1^{-1}\text{.}\)

28.

Complete la demostración de la Proposición 3.2.14: si \(G\) es un grupo y \(a, b \in G\text{,}\) entonces la ecuación \(xa = b\) tiene una única solución en \(G\text{.}\)

29.

Demuestre el Teorema 3.2.16.

30.

Demuestre las leyes de cancelación izquierda y derecha para un grupo \(G\text{;}\) es decir, demuestre que en el grupo \(G\text{,}\) \(ba = ca\) implica \(b = c\) y \(ab = ac\) implica \(b = c\) para elementos cualquiera \(a, b, c \in G\text{.}\)

31.

Demuestre que si \(a^2 = e\) para todos los elementos \(a\) en un grupo \(G\text{,}\) entonces \(G\) debe ser abeliano.

Pista

Como \(abab = (ab)^2 = e = a^2 b^2 = aabb\text{,}\) sabemos que \(ba = ab\text{.}\)

32.

Demuestre que si \(G\) es un grupo finito de orden par, entonces existe un \(a \in G\) tal que \(a\) no es la identidad y \(a^2 = e\text{.}\)

33.

Sea \(G\) un grupo y supongamos que \((ab)^2 = a^2b^2\) para todo \(a\) y \(b\) en \(G\text{.}\) Demuestre que \(G\) es un grupo abeliano.

34.

Encuentre todos los subgrupos de \({\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3\text{.}\) Use esta información para demostrar que \({\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3\) no es el mismo grupo que \({\mathbb Z}_9\text{.}\) (Vea el Ejemplo 3.3.5 para una descripción resumida del producto de grupos.)

35.

Encuentre todos los subgrupos del grupo de simetrías de un triángulo equilátero.

Pista

\(H_1 = \{ \identity \}\text{,}\) \(H_2 = \{ \identity, \rho_1, \rho_2 \}\text{,}\) \(H_3 = \{ \identity, \mu_1 \}\text{,}\) \(H_4 = \{ \identity, \mu_2 \}\text{,}\) \(H_5 = \{ \identity, \mu_3 \}\text{,}\) \(S_3\text{.}\)

36.

Encuentre los subgrupos del grupo de simetrías de un cuadrado.

37.

Sea \(H = \{2^k : k \in {\mathbb Z} \}\text{.}\) Demuestre que \(H\) es un subgrupo de \({\mathbb Q}^*\text{.}\)

38.

Sea \(n = 0, 1, 2, \ldots\) y sea \(n {\mathbb Z} = \{ nk : k \in {\mathbb Z} \}\text{.}\) Demuestre que \(n {\mathbb Z}\) es un subgrupo de \({\mathbb Z}\text{.}\) Muestre que estos son los únicos subgrupos de \(\mathbb{Z}\text{.}\)

39.

Sea \({\mathbb T} = \{ z \in {\mathbb C}^* : |z| =1 \}\text{.}\) Demuestre que \({\mathbb T}\) es un subgrupo de \({\mathbb C}^*\text{.}\)

40.

Sea \(G\) el conjunto de matrices de \(2 \times 2\) de la forma

\begin{equation*} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, \end{equation*}

con \(\theta \in {\mathbb R}\text{.}\) Demuestre que \(G\) es un subgrupo de \(SL_2({\mathbb R})\text{.}\)

41.

Demuestre que

\begin{equation*} G = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \text{ y } a \text{ y } b \text{ no ambos cero} \} \end{equation*}

es un subgrupo de \({\mathbb R}^{\ast}\) con la operación de multiplicación.

Pista

La identidad de \(G\) es \(1 = 1 + 0 \sqrt{2}\text{.}\) Como \((a + b \sqrt{2}\, )(c + d \sqrt{2}\, ) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}\text{,}\) \(G\) es cerrado bajo multiplicación. Finalmente, \((a + b \sqrt{2}\, )^{-1} = a/(a^2 - 2b^2) - b\sqrt{2}/(a^2 - 2 b^2)\text{.}\)

42.

Sea \(G\) el grupo de matrices de \(2 \times 2\) con la operción de suma y sea

\begin{equation*} H = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} : a + d = 0 \right\}. \end{equation*}

Demuestre que \(H\) es un subgrupo de \(G\text{.}\)

43.

Demuestre o refute: \(SL_2( {\mathbb Z} )\text{,}\) el conjunto de matrices de \(2 \times 2\) con coeficientes enteros y determinante 1, es un subgrupo de \(SL_2( {\mathbb R} )\text{.}\)

44.

Liste los subgrupos del grupo de cuaterniones, \(Q_8\text{.}\)

45.

Demuestre que la intersección de dos subgrupos de un grupo \(G\) también es un subgrupo de \(G\text{.}\)

46.

Demuestre o refute: Si \(H\) y \(K\) son subgrupos de un grupo \(G\text{,}\) entonces \(H \cup K\) es un subgrupo de \(G\text{.}\)

Pista

Considere \(S_3\text{.}\)

47.

Demuestre o refute: Si \(H\) y \(K\) son subgrupos de un grupo \(G\text{,}\) entonces \(H K = \{hk : h \in H \text{ y } k \in K \}\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) ¿Qué pasa si \(G\) es abeliano?

48.

Sea \(G\) un grupo y sea \(g \in G\text{.}\) Demuestre que

\begin{equation*} Z(G) = \{ x \in G : gx = xg \text{ para todo } g \in G \} \end{equation*}

es un subgrupo de \(G\text{.}\) Este subgrupo se llama centro de \(G\text{.}\)

49.

Sean \(a\) y \(b\) elementos de un grupo \(G\text{.}\) Si \(a^4 b = ba\) y \(a^3 = e\text{,}\) demuestre que \(ab = ba\text{.}\)

Pista

\(b a = a^4 b = a^3 a b = ab\)

50.

Dé un ejemplo de un grupo infinito en que todo subgrupo no trivial es infinito.

51.

Si \(xy = x^{-1} y^{-1}\) para todo \(x\) e \(y\) en \(G\text{,}\) demuestre que \(G\) debe ser abeliano.

52.

Demuestre o refute: Todo subgrupo propio de un grupo no abeliano es no abeliano.

53.

Sea \(H\) un subgrupo de \(G\) y sea

\begin{equation*} C(H) = \{ g \in G : gh = hg \text{ para todo } h \in H \}. \end{equation*}

Demuestre que \(C(H)\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Este subgrupo se llama centralizador de \(H\) en \(G\text{.}\)

54.

Sea \(H\) un subgrupo de \(G\text{.}\) Si \(g \in G\text{,}\) muestre que \(gHg^{-1} = \{ghg^{-1} : h\in H\}\) también es un subgrupo de \(G\text{.}\)