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Sección 23.4 Ejercicios

1.

Obtenga cada uno de los siguientes grupos de Galois. ¿Cuáles de las siguientes extension de cuerpos son extensiones normales? Si la extensión no es normal, encuentre una extensión normal \({\mathbb Q}\) en la que esté contenida.

  1. \(G({\mathbb Q}(\sqrt{30}\, ) / {\mathbb Q})\)

  2. \(G({\mathbb Q}(\sqrt[4]{5}\, ) / {\mathbb Q})\)

  3. \(G( {\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/ {\mathbb Q} )\)

  4. \(G({\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, i) / {\mathbb Q})\)

  5. \(G({\mathbb Q}(\sqrt{6}, i) / {\mathbb Q})\)

Pista

(a) \({\mathbb Z}_2\text{;}\) (c) \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)

2.

Determine la separabilidad de cada uno de los siguientes polinomios.

  1. \(x^3 + 2 x^2 - x - 2\) sobre \({\mathbb Q}\)

  2. \(x^4 + 2 x^2 + 1\) sobre \({\mathbb Q}\)

  3. \(x^4 + x^2 + 1\) sobre \({\mathbb Z}_3\)

  4. \(x^3 +x^2 + 1\) sobre \({\mathbb Z}_2\)

Pista

(a) Separable sobre \(\mathbb Q\) pues \(x^3 + 2 x^2 - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2)\text{;}\) (c) no es separable sobre \(\mathbb Z_3\) pues \(x^4 + x^2 + 1 = (x + 1)^2 (x + 2)^2 \text{.}\)

3.

Indique el orden y describa un generador del grupo de Galois de \(\gf(729)\) sobre \(\gf(9)\text{.}\)

Pista

Si

\begin{equation*} [\gf(729): \gf(9)] = [\gf(729): \gf(3)] /[\gf(9): \gf(3)] = 6/2 = 3, \end{equation*}

entonces \(G(\gf(729)/ \gf(9)) \cong {\mathbb Z}_3\text{.}\) Un generador para \(G(\gf(729)/ \gf(9))\) es \(\sigma\text{,}\) deonde \(\sigma_{3^6}( \alpha) = \alpha^{3^6} = \alpha^{729}\) para \(\alpha \in \gf(729)\text{.}\)

4.

Obtenga los grupos de Galois de cada uno de los siguientes polinomios en \({\mathbb Q}[x]\text{;}\) determine la solubilidad por radicales de cada uno de los polinomios.

  1. \(x^5 - 12 x^2 + 2\)

  2. \(x^5 - 4 x^4 + 2 x + 2\)

  3. \(x^3 - 5\)

  4. \(x^4 - x^2 - 6\)

  5. \(x^5 + 1\)

  6. \((x^2 - 2)(x^2 + 2)\)

  7. \(x^8 - 1\)

  8. \(x^8 + 1\)

  9. \(x^4 - 3 x^2 -10\)

Pista

(a) \(S_5\text{;}\) (c) \(S_3\text{;}\) (g) Vea el Ejemplo 23.1.10.

5.

Encuentre un elemento primitivo en el cuerpo de descomposición de cada uno de los siguientes polinomios en \({\mathbb Q}[x]\text{.}\)

  1. \(x^4 - 1\)

  2. \(x^4 - 8 x^2 + 15\)

  3. \(x^4 - 2 x^2 - 15\)

  4. \(x^3 - 2\)

Pista

(a) \({\mathbb Q}(i)\)

6.

Demuestre que el grupo de Galois de un polinomio cuadrático irreducible es isomorfo a \({\mathbb Z}_2\text{.}\)

7.

Demuestre que el grupo de Galois de un polinomio cúbico irreducible es isomorfo a \(S_3\) o a \({\mathbb Z}_3\text{.}\)

Pista

Sea \(E\) el cuerpo de descomposición de un polinomio cúbico en \(F[x]\text{.}\) Muestre que \([E:F]\) es menor o igual a 6 y es divisible por 3. Como \(G(E/F)\) es un subgrupo de \(S_3\) cuyo orden es divisible por 3, concluya que este grupo debe ser isomorfo a \({\mathbb Z}_3\) o a \(S_3\text{.}\)

8.

Sean \(F \subset K \subset E\) cuerpos. Si \(E\) es una extensión normal de \(F\text{,}\) muestre que \(E\) también es una extensión normal de \(K\text{.}\)

9.

Sea \(G\) el grupo de Galois de un polinomio de grado \(n\text{.}\) Demuestre que \(|G|\) divide a \(n!\text{.}\)

Pista

\(G\) es un subgrupo de \(S_n\text{.}\)

10.

Sea \(F \subset E\text{.}\) Si \(f(x)\) es soluble sobre \(F\text{,}\) muestre que \(f(x)\) también es soluble sobre \(E\text{.}\)

11.

Construya un polinomio \(f(x)\) en \({\mathbb Q}[x]\) de grado 7 que no sea soluble por radicales.

12.

Sea \(p\) un número primo. Demuestre que existe un polinomio \(f(x) \in{\mathbb Q}[x]\) de grado \(p\) con grupo de Galois isomorfo a \(S_p\text{.}\) Concluya que para todo primo \(p\) con \(p \geq 5\) existe un polinomio de grado \(p\) que no es soluble por radicales.

13.

Sea \(p\) un número primo y sea \({\mathbb Z}_p(t)\) el cuerpo de funciones racionales sobre \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Demuestre que \(f(x) = x^p - t\) es un polinomio irreducible en \({\mathbb Z}_p(t)[x]\text{.}\) Muestre que \(f(x)\) no es separable.

14.

Sea \(E\) una extensión de cuerpos de \(F\text{.}\) Supongamos que \(K\) y \(L\) son dos cuerpos intermedios. Si existe un elemento \(\sigma \in G(E/F)\) tal que \(\sigma(K) = L\text{,}\) entonces \(K\) y \(L\) se llaman cuerpos conjugados. Demuestre que \(K\) y \(L\) son conjugados si y solo si \(G(E/K)\) y \(G(E/L)\) son subgrupos conjugados de \(G(E/F)\text{.}\)

15.

Sea \(\sigma \in \aut( {\mathbb R} )\text{.}\) Si \(a\) es un número real positivo, muestre que \(\sigma( a) > 0\text{.}\)

16.

Sea \(K\) el cuerpo de descomposición de \(x^3 + x^2 + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Demuestre o refute que \(K\) es una extensión por radicales.

Pista

Verdadero.

17.

Sea \(F\) un cuerpo tal que \({\rm char}\, F \neq 2\text{.}\) Demuestre que el cuerpo de descomposición de \(f(x) = a x^2 + b x + c\) es \(F( \sqrt{\alpha}\, )\text{,}\) donde \(\alpha = b^2 - 4ac\text{.}\)

18.

Demuestre o refute: Dos subgrupos diferentes de un grupo de Galois tienen cuerpos fijos diferentes.

19.

Sea \(K\) el cuerpo de descomposición de un polinomio sobre \(F\text{.}\) Si \(E\) es una extensión de cuerpos de \(F\) contenida en \(K\) y \([E:F] = 2\text{,}\) entonces \(E\) es el cuerpo de descomposición de algún polinomio en \(F[x]\text{.}\)

20.

Sabemos que el polinomio ciclotómico

\begin{equation*} \Phi_p(x) = \frac{x^p - 1}{x - 1} = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \cdots + x + 1 \end{equation*}

es irreducible sobre \({\mathbb Q}\) para cada primo \(p\text{.}\) Sea \(\omega\) un cero de \(\Phi_p(x)\text{,}\) y consideremos el cuerpo \({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\)

  1. Muestre que \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p-1}\) son raíces distintas de \(\Phi_p(x)\text{,}\) y concluya que son todas las raíces de \(\Phi_p(x)\text{.}\)

  2. Muestre que \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q} )\) es abeliano de orden \(p - 1\text{.}\)

  3. Muestre que el cuerpo fijo de \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q} )\) es \({\mathbb Q}\text{.}\)

Pista
  1. Claramente \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) son distintas pues \(\omega \neq 1\) ni 0. Para mostrar que \(\omega^i\) es un cero de \(\Phi_p\text{,}\) calcule \(\Phi_p( \omega^i)\text{.}\)

  2. Los conjugados de \(\omega\) son \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\text{.}\) Defina una función \(\phi_i: {\mathbb Q}(\omega) \rightarrow {\mathbb Q}(\omega^i)\) como

    \begin{equation*} \phi_i(a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p - 2} \omega^{p - 2}) = a_0 + a_1 \omega^i + \cdots + c_{p - 2} (\omega^i)^{p - 2}, \end{equation*}

    donde \(a_i \in {\mathbb Q}\text{.}\) Demuestre que \(\phi_i\) es un isomorfismo de cuerpos. Muestre que \(\phi_2\) genera \(G({\mathbb Q}(\omega)/{\mathbb Q})\text{.}\)

  3. Muestre que \(\{ \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1} \}\) es una base para \({\mathbb Q}( \omega )\) sobre \({\mathbb Q}\text{,}\) y considere cuáles combinaciones lineales de \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) quedan fijas por todos los elementos de \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q})\text{.}\)

21.

Sea \(F\) un cuerpo finito o un cuerpo de característica cero. Sea \(E\) una extensión normal finita de \(F\) con grupo de Galois \(G(E/F)\text{.}\) Demuestre que \(F \subset K \subset L \subset E\) si y solo si \(\{ \identity \} \subset G(E/L) \subset G(E/K) \subset G(E/F)\text{.}\)

22.

Sea \(F\) un cuerpo de característica cero y sea \(f(x) \in F[x]\) un polinomio separable de grado \(n\text{.}\) Si \(E\) es el cuerpo de descomposición de \(f(x)\text{,}\) sean \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) las raíces de \(f(x)\) en \(E\text{.}\) Sea \(\Delta = \prod_{i \lt j} (\alpha_i - \alpha_j)\text{.}\) Definimos el discriminante de \(f(x)\) como \(\Delta^2\text{.}\)

  1. Si \(f(x) = x^2 + b x + c\text{,}\) muestre que \(\Delta^2 = b^2 - 4c\text{.}\)

  2. Si \(f(x) = x^3 + p x + q\text{,}\) muestre que \(\Delta^2 = - 4p^3 - 27q^2\text{.}\)

  3. Demuestre que \(\Delta^2\) está en \(F\text{.}\)

  4. Si \(\sigma \in G(E/F)\) es una transposición de dos raíces de \(f(x)\text{,}\) muestre que \(\sigma( \Delta ) = -\Delta\text{.}\)

  5. Si \(\sigma \in G(E/F)\) es una permutación par de las raíces de \(f(x)\text{,}\) muestre que \(\sigma( \Delta ) = \Delta\text{.}\)

  6. Demuestre que \(G(E/F)\) es isomorfo a un subgrupo de \(A_n\) si y solo si \(\Delta \in F\text{.}\)

  7. Determine el grupo de Galois de \(x^3 + 2 x - 4\) y \(x^3 + x -3\text{.}\)