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Sección 22.3 Ejercicios

1.

Calcule.

  1. \([\gf(3^6) : \gf(3^3)]\)

  2. \([\gf(128): \gf(16)]\)

  3. \([\gf(625) : \gf(25) ]\)

  4. \([\gf(p^{12}): \gf(p^2)]\)

Pista

Asegúrese de tener una extensión de cuerpos.

2.

Calcule \([\gf(p^m): \gf(p^n)]\text{,}\) con \(n \mid m\text{.}\)

3.

¿Cuál es el reticulado de subcuerpos de \(\gf(p^{30})\text{?}\)

4.

Sea \(\alpha\) una raíz de \(x^3 + x^2 + 1\) sobre \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Construya un cuerpo finito de orden 8. Muestre que \(x^3 + x^2 + 1\) se descompone en \({\mathbb Z}_2(\alpha)\text{.}\)

Pista

Hay ocho elementos en \({\mathbb Z}_2(\alpha)\text{.}\) Exhiba dos ceros más de \(x^3 + x^2 + 1\) además de \(\alpha\) entre estos ocho elementos.

5.

Construya un cuerpo finito de orden 27.

Pista

Encuentre un polinomio irreducible \(p(x)\) en \({\mathbb Z}_3[x]\) de grado 3 y muestre que \({\mathbb Z}_3[x]/ \langle p(x) \rangle\) tiene 27 elementos.

6.

Demuestre o refute: \({\mathbb Q}^\ast\) es cíclico.

7.

Factorice cada uno de los siguientes polinomios en \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

  1. \(x^5- 1\)

  2. \(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\)

  3. \(x^9 - 1\)

  4. \(x^4 +x^3 + x^2 + x + 1\)

Pista

(a) \(x^5 -1 = (x+1)(x^4+x^3 + x^2 + x+ 1)\text{;}\) (c) \(x^9 -1 = (x+1)( x^2 + x+ 1)(x^6+x^3+1)\text{.}\)

8.

Demuestre o refute: \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle \cong {\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x^2 + 1 \rangle\text{.}\)

Pista

Verdadero.

9.

Determine el número de códigos cíclicos de longitud \(n\) para \(n = 6\text{,}\) 7, 8, 10.

10.

Demuestre que el ideal \(\langle t + 1 \rangle\) en \(R_n\) es el código en \({\mathbb Z}_2^n\) que consiste de todas las palabras con un número par de unos.

11.

Construya todos los códigos BCH de

  1. longitud 7.

  2. longitud 15.

Pista

(a) Use el hechode que \(x^7 -1 = (x+1)( x^3 + x+ 1)(x^3+x^2+1)\text{.}\)

12.

Demuestre o refute: Existe un cuerpo finito algebraicamente cerrado.

Pista

Falso.

13.

Sea \(p\) un primo. Demuestre que el cuerpo de funciones racionales \({\mathbb Z}_p(x)\) es un cuerpo infinito de característica \(p\text{.}\)

14.

Sea \(D\) un dominio de integridad de característica \(p\text{.}\) Demuestre que \((a - b)^{p^n} = a^{p^n} - b^{p^n}\) para todo \(a, b \in D\text{.}\)

15.

Muestre que todo elemento en un cuerpo finito puede ser escrito como la suma de dos cuadrados.

16.

Sean \(E\) y \(F\) be subcuerpos de un cuerpo finito \(K\text{.}\) Si \(E\) es isomorfo a \(F\text{,}\) muestre que \(E=F\text{.}\)

17.

Sean \(F \subset E \subset K\) cuerpos. Si \(K\) es una extensión separable de \(F\text{,}\) muestre que \(K\) también es una extensión separable de \(E\text{.}\)

Pista

Si \(p(x) \in F[x]\text{,}\) entonces \(p(x) \in E[x]\text{.}\)

18.

Sea \(E\) una extensión de un cuerpo finito \(F\text{,}\) donde \(F\) tiene \(q\) elementos. Sea \(\alpha \in E\) algebraico sobre \(F\) de grado \(n\text{.}\) Demuestre que \(F( \alpha )\) tiene \(q^n\) elementos.

Pista

Como \(\alpha\) es algebraico sobreo \(F\) de grado \(n\text{,}\) podemos escribir cualquier elemento \(\beta \in F(\alpha)\) de forma única como \(\beta = a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n-1} \alpha^{n-1}\) with \(a_i \in F\text{.}\) Existen \(q^n\) posibles \(n\)-tuplas \((a_0, a_1, \ldots, a_{n-1})\text{.}\)

19.

Muestre que toda extensión finita de un cuerpo finito \(F\) es simple; es decir, si \(E\) es una extensión finita de n cuerpo finito \(F\text{,}\) demuestre que existe un \(\alpha \in E\) tal que \(E = F( \alpha )\text{.}\)

20.

Muestre que para cada \(n\) existe un polinomio irreducible de grado \(n\) en \({\mathbb Z}_p[x]\text{.}\)

21.

Demuestre que la función de Frobenius \(\Phi : \gf(p^n) \rightarrow \gf(p^n)\) dada por \(\Phi : \alpha \mapsto \alpha^p\) es un automorfismo de orden \(n\text{.}\)

22.

Muestre que todo elemento en \(\gf(p^n)\) puede ser escrito en la forma \(a^p\) para un único \(a \in \gf(p^n)\text{.}\)

23.

Sean \(E\) y \(F\) subcuerpos de \(\gf(p^n)\text{.}\) Si \(|E| = p^r\) y \(|F| = p^s\text{,}\) ¿cuál es el orden de \(E \cap F\text{?}\)

24. Teoream de Wilson.

Sea \(p\) un primo. Demuestre que \((p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\text{.}\)

Pista

Factorice \(x^{p-1} - 1\) sobre \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

25.

Si \(g(t)\) es el polinomio generador minimal para un código cíclico \(C\) en \(R_n\text{,}\) demuestre que el término constante de \(g(x)\) es \(1\text{.}\)

26.

Es concebible que una ráfaga de errores pueda ocurrir durante una transmisión, como en el caso de una sobrecarga de energía. Una ráfaga de interferencia puede alterar varios bits consecutivos de una palabra del código. Los códigos cíclicos permiten detectar tales ráfagas de errores. Sea \(C\) un código cíclico \((n,k)\text{.}\) Demuestre que cualquier ráfaga de hasta \(n-k\) dígitos puede ser detectada.

27.

Demuestre que los anillos \(R_n\) y \({\mathbb Z}_2^n\) son isomorfos como espacios vectoriales.

28.

Sea \(C\) un código en \(R_n\) generado por \(g(t)\text{.}\) Si \(\langle f(t) \rangle\) es otro código en \(R_n\text{,}\) muestre que \(\langle g(t) \rangle \subset \langle f(t) \rangle\) si y solo si \(f(x)\) divide a \(g(x)\) en \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

29.

Sea \(C = \langle g(t) \rangle\) un código cíclico en \(R_n\) y supongamos que \(x^n - 1 = g(x) h(x)\text{,}\) donde \(g(x) = g_0 + g_1 x + \cdots + g_{n - k} x^{n - k}\) y \(h(x) = h_0 + h_1 x + \cdots + h_k x^k\text{.}\) Definamos \(G\) como la matriz de \(n \times k\)

\begin{equation*} G = \begin{pmatrix} g_0 & 0 & \cdots & 0 \\ g_1 & g_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ g_{n-k} & g_{n-k-1} & \cdots & g_0 \\ 0 & g_{n-k} & \cdots & g_{1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & g_{n-k} \end{pmatrix} \end{equation*}

y \(H\) como la matriz de \((n-k) \times n\)

\begin{equation*} H = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 0 & h_k & \cdots & h_0 \\ 0 & \cdots & 0 & h_k & \cdots & h_0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ h_k & \cdots & h_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
  1. Demuestre que \(G\) es una matriz generadora para \(C\text{.}\)

  2. Demuestre que \(H\) es una matriz verificadora para \(C\text{.}\)

  3. Muestre que \(HG = 0\text{.}\)