Saltar a contenido principal

Sección 21.4 Ejercicios

1.

Muestre que cada uno de los siguientes números es algebraico sobre \({\mathbb Q}\) encontrando su polinomio minimal sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)

  1. \(\sqrt{ 1/3 + \sqrt{7} }\)

  2. \(\sqrt{ 3} + \sqrt[3]{5}\)

  3. \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\, i\)

  4. \(\cos \theta + i \sin \theta\) para \(\theta = 2 \pi /n\) con \(n \in {\mathbb N}\)

  5. \(\sqrt{ \sqrt[3]{2} - i }\)

Pista

(a) \(x^4 - (2/3) x^2 - 62/9\text{;}\) (c) \(x^4 - 2 x^2 + 25\text{.}\)

2.

Encuentre una base para cada una de las siguientes extensiones de cuerpos. ¿Cuál es el grado de esta extensión?

  1. \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{6}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)

  2. \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)

  3. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i)\) sobre \({\mathbb Q}\)

  4. \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)

  5. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \root 3 \of{2}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)

  6. \({\mathbb Q}( \sqrt{8}\, )\) sobre \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\)

  7. \({\mathbb Q}(i, \sqrt{2} +i, \sqrt{3} + i )\) sobre \({\mathbb Q}\)

  8. \({\mathbb Q}( \sqrt{2} + \sqrt{5}\, )\) sobre \({\mathbb Q} ( \sqrt{5}\, )\)

  9. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \sqrt{6} + \sqrt{10}\, )\) sobre \({\mathbb Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\)

Pista

(a) \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\text{;}\) (c) \(\{ 1, i, \sqrt{2}, \sqrt{2}\, i \}\text{;}\) (e) \(\{1, 2^{1/6}, 2^{1/3}, 2^{1/2}, 2^{2/3}, 2^{5/6} \}\text{.}\)

3.

Encuentre el cuerpo de descomposición de cada uno de los siguientes polinomios.

  1. \(x^4 - 10 x^2 + 21\) sobre \({\mathbb Q}\)

  2. \(x^4 + 1\) sobre \({\mathbb Q}\)

  3. \(x^3 + 2x + 2\) sobre \({\mathbb Z}_3\)

  4. \(x^3 - 3\) sobre \({\mathbb Q}\)

Pista

(a) \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\text{.}\)

4.

Considere el cuerpo de extensión \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sobre \(\mathbb Q\text{.}\)

  1. Encuentre una base para el cuerpo de extensión \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sobre \(\mathbb Q\text{.}\) Concluya que \([{\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i ): \mathbb Q] = 8\text{.}\)

  2. Encuentre todos los subcuerpos \(F\) de \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tal que \([F:\mathbb Q] = 2\text{.}\)

  3. Encuentre todos los subcuerpos \(F\) de \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tal que \([F:\mathbb Q] = 4\text{.}\)

5.

Demuestre que \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) es un cuerpo con 8 elementos. Construya una tabla de multiplicación para el grupo multiplicativo del cuerpo.

Pista

Use el hecho de que los elementos de \({\mathbb Z}_2[x]/ \langle x^3 + x + 1 \rangle\) son 0, 1, \(\alpha\text{,}\) \(1 + \alpha\text{,}\) \(\alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha^2\text{,}\) \(\alpha + \alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha + \alpha^2\) y el hecho de que \(\alpha^3 + \alpha + 1 = 0\text{.}\)

6.

Demuestre que el polígono regular de 9 lados no es constructible con regla y compas, pero el de 20 lados sí es constructible.

7.

Demuestre que el coseno de un grado (\(\cos 1^\circ\)) es algebraico sobre \({\mathbb Q}\) pero no es constructible.

8.

¿Se puede construir un cubo con tres veces el volumen de un cubo dado?

Pista

False.

9.

Demuestre que \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[8]{3}, \ldots )\) es una extensión algebraica de \({\mathbb Q}\) pero no es una extensión finita.

10.

Demuestre o refute: \(\pi\) es algebraico sobre \({\mathbb Q}(\pi^3)\text{.}\)

11.

Sea \(p(x)\) un polinomio no constante de grado \(n\) en \(F[x]\text{.}\) Demuestre que existe un cuerpo de descomposición \(E\) para \(p(x)\) tal que \([E : F] \leq n!\text{.}\)

12.

Demuestre o refute: \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) \cong {\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\)

13.

Demuestre que los cuerpos \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, )\) y \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, i)\) son isomorfos pero no iguales.

14.

Sea \(K\) una extensión algebraica de \(E\text{,}\) y \(E\) una extensión algebraica de \(F\text{.}\) Demuestre que \(K\) es algebraico sobre \(F\text{.}\) [Cuidado: No suponga que las extensiones son finitas.]

Pista

Supongamos que \(E\) es algebraico sobre \(F\) y \(K\) es algebraico sobre \(E\text{.}\) Sea \(\alpha \in K\text{.}\) Basta con demostrar que \(\alpha\) es algebraico sobre alguna extensión finita de \(F\text{.}\) Como \(\alpha\) es algebraico sobre \(E\text{,}\) debe ser cero de algún polinomio \(p(x) = \beta_0 + \beta_1 x + \cdots + \beta_n x^n\) en \(E[x]\text{.}\) Por lo tanto \(\alpha\) es algebraico sobre \(F(\beta_0, \ldots, \beta_n)\text{.}\)

15.

Demuestre o refute: \({\mathbb Z}[x] / \langle x^3 -2 \rangle\) es un cuerpo.

16.

Sea \(F\) un cuerpo de característica \(p\text{.}\) Demuestre que \(p(x) = x^p - a\) es irreducible o se descompone completamente en \(F\text{.}\)

17.

Sea \(E\) la clausura algebraica de un cuerpo \(F\text{.}\) Demuestre que todo polinomio \(p(x)\) en \(F[x]\) se descompone completamente en \(E\text{.}\)

18.

Si todo polinomio irreducible \(p(x)\) en \(F[x]\) es lineal, demuestre que \(F\) es un cuerpo algebraicamente cerrado.

19.

Demuestre que si \(\alpha\) y \(\beta\) son números constructibles tales que \(\beta \neq 0\text{,}\) entonces también lo es \(\alpha / \beta\text{.}\)

20.

Demuestre que el conjunto de todos los elementos en \({\mathbb R}\) que son algebraicos sobre \({\mathbb Q}\) forma una extensión de cuerpos de \({\mathbb Q}\) que no es finita.

21.

Sea \(E\) una extensión algebraica de un cuerpo \(F\text{,}\) y sea \(\sigma\) un automorfismo de \(E\) que fija \(F\text{.}\) Sea \(\alpha \in E\text{.}\) Demuestre que \(\sigma\) induce una permutación del conjunto de ceros del polinomio minimal de \(\alpha\) que están en \(E\text{.}\)

22.

Muestre que \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, )\text{.}\) Extienda su demostración para demostrar que \({\mathbb Q}( \sqrt{a}, \sqrt{b}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{a} + \sqrt{b}\, )\text{,}\) donde \(\gcd(a, b) = 1\text{.}\)

Pista

Como \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{21}\, \}\) es una base para \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\text{,}\) \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) \supset {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\) Como \([{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\text{,}\) \([{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 2\) o 4. Como el grado del polinomio minimal de \(\sqrt{3} +\sqrt{7}\) es 4, \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\)

23.

Sea \(E\) una extensión finita de un cuerpo \(F\text{.}\) Si \([E:F] = 2\text{,}\) demuestre que \(E\) es un cuerpo de descomposición sobre \(F\) para algún polinomio \(f(x) \in F[x]\text{.}\)

24.

Demuestre o refute: Dado un polinomio \(p(x)\) en \({\mathbb Z}_6[x]\text{,}\) es posible construir un anillo \(R\) tal que \(p(x)\) tiene una raíz en \(R\text{.}\)

25.

Sea \(E\) una extensión de \(F\) y \(\alpha \in E\text{.}\) Determine \([F(\alpha): F(\alpha^3)]\text{.}\)

26.

Sean \(\alpha, \beta\) trascendente sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Pruebe que al menos uno de \(\alpha \beta\) y \(\alpha + \beta\) también es trascendente.

27.

Sea \(E\) una extensión de cuerpos de \(F\) y sea \(\alpha \in E\) trascendente sobre \(F\text{.}\) Demuestre que cada elemento en \(F(\alpha)\) que no está en \(F\) también es trascendente sobre \(F\text{.}\)

Pista

Sea \(\beta \in F(\alpha)\) no en \(F\text{.}\) Entonces \(\beta = p(\alpha)/q(\alpha)\text{,}\) donde \(p\) y \(q\) son polinomios en \(\alpha\) con \(q(\alpha) \neq 0\) y coeficientes en \(F\text{.}\) Si \(\beta\) es algebraico sobre \(F\text{,}\) entonces hay un polinomio \(f(x) \in F[x]\) tal que \(f(\beta) = 0\text{.}\) Sea \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{.}\) Entonces

\begin{equation*} 0 = f(\beta) = f\left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) = a_0 + a_1 \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right) + \cdots + a_n \left( \frac{p(\alpha)}{q(\alpha)} \right)^n. \end{equation*}

Ahora multiplique ambos lados por \(q(\alpha)^n\) para demostrar que hay un polinomio en \(F[x]\) que se anula en \(\alpha\text{.}\)

28.

Sea \(\alpha\) una raíz de un polinomio irreducible \(p(x) \in F[x]\text{,}\) con \(\deg p = n\text{.}\) Demuestre que \([F(\alpha) : F] = n\text{.}\)

Pista

Vea el comentario que sigue al Teorema 21.1.13.