Saltar a contenido principal

Sección 18.3 Ejercicios

1.

Sea \(z = a + b \sqrt{3}\, i\) en \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i]\text{.}\) Si \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{,}\) muestre que \(z\) es una unidad. Muestre que las únicas unidades de \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) son 1 y \(-1\text{.}\)

Pista

Note que \(z^{-1} = 1/(a + b\sqrt{3}\, i) = (a -b \sqrt{3}\, i)/(a^2 + 3b^2)\) está en \({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, i]\) si y solo si \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{.}\) Las únicas soluciones enteras de la ecuación son \(a = \pm 1, b = 0\text{.}\)

2.

Los enteros Gaussianos, \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) forman un DFU. Factorice cada uno de los siguientes elementos en \({\mathbb Z}[i]\) como producto de irreducibles.

  1. 5

  2. \(1 + 3i\)

  3. \(6 + 8i\)

  4. 2

Pista

(a) \(5 = -i(1 + 2i)(2 + i)\text{;}\) (c) \(6 + 8i = -i(1 + i)^2(2 + i)^2\text{.}\)

3.

Sea \(D\) un dominio integral.

  1. Demuestre que \(F_D\) es un grupo abeliano bajo la operación de adición.

  2. Muestre que la operación de multiplicación está bien-definida en el cuerpo de fracciones, \(F_D\text{.}\)

  3. Verifique las propiedades asociativa y conmutativa en \(F_D\text{.}\)

4.

Demuestre o refute: Cualquier subanillo de un cuerpo \(F\) que contenga a 1 es un dominio integral.

Pista

Verdadero.

5.

Demuestre o refute: Si \(D\) es un dominio integral, entonces todo elemento primo en \(D\) también es irreducible en \(D\text{.}\)

6.

Sea \(F\) un cuerpo de característica cero. Demuestre que \(F\) contiene un subcuerpo isomorfo a \({\mathbb Q}\text{.}\)

7.

Sea \(F\) un cuerpo.

  1. Demuestre que el cuerpo de fracciones de \(F[x]\text{,}\) denotado por \(F(x)\text{,}\) es isomorfo al conjunto de todas las expresiones racionales \(p(x) / q(x)\text{,}\) donde \(q(x)\) no es el polinomio cero.

  2. Sean \(p(x_1, \ldots, x_n)\) y \(q(x_1, \ldots, x_n)\) polinomios en \(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Muestre que el conjunto de todas las expresiones racionales \(p(x_1, \ldots, x_n) / q(x_1, \ldots, x_n)\) es isomorfo al cuerpo de fracciones de \(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Denotamos el cuerpo de fracciones de \(F[x_1, \ldots, x_n]\) por \(F(x_1, \ldots, x_n)\text{.}\)

8.

Sea \(p\) un número primo y denote el cuerpo de fracciones de \({\mathbb Z}_p[x]\) por \({\mathbb Z}_p(x)\text{.}\) Demuestre que \({\mathbb Z}_p(x)\) es un cuerpo infinito de característica \(p\text{.}\)

9.

Demuestre que el cuerpo de fracciones de los enteros Gaussianos, \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) es

\begin{equation*} {\mathbb Q}(i) = \{ p + q i : p, q \in {\mathbb Q} \}. \end{equation*}
Pista

Sean \(z = a + bi\) y \(w = c + di \neq 0\) en \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Demuestre que \(z/w \in {\mathbb Q}(i)\text{.}\)

10.

Un cuerpo \(F\) se llama cuerpo primo si no tiene subcuerpos propios. Si \(E\) es un subcuerpo de \(F\) y \(E\) es un cuerpo primo, entonces \(E\) en un subcuerpo primo de \(F\text{.}\)

  1. Demuestre que todo cuerpo contiene un único subcuerpo primo.

  2. Si \(F\) es un cuerpo de característica 0, demuestre que el subcuerpo primo de \(F\) es isomorfo al cuerpo de los números racionales, \({\mathbb Q}\text{.}\)

  3. Si \(F\) es un cuerpo de característica \(p\text{,}\) demuestre que el subcuerpo primo de \(F\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

11.

Sea \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ] = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Z} \}\text{.}\)

  1. Demuestre que \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\) es un dominio integral.

  2. Encuentre todas las unidades en \({\mathbb Z}[\sqrt{2}\, ]\text{.}\)

  3. Determine el cuerpo de fracciones de \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\text{.}\)

  4. Demuestre que \({\mathbb Z}[ \sqrt{2} i ]\) es un dominio Euclideano con la valuación Euclideana \(\nu( a + b \sqrt{2}\, i) = a^2 + 2b^2\text{.}\)

12.

Sea \(D\) un DFU. Un elemento \(d \in D\) es un máximo divisor común de \(a\) y \(b\) en \(D\) si \(d \mid a\) y \(d \mid b\) y \(d\) es divisible por cualquier otro elemento que divida tanto a \(a\) como a \(b\text{.}\)

  1. Si \(D\) es un DIP y \(a\) y \(b\) son ambos elementos distintos de cero en \(D\text{,}\) demuestre que existe un único máximo común divisor de \(a\) y \(b\) salvo asociados. Es decir, si \(d\) y \(d'\) son ambos máximo común divisor de \(a\) y \(b\text{,}\) entonces \(d\) y \(d'\) son asociados. Escribimos \(\gcd( a, b)\) para el máximo común divisor de \(a\) y \(b\text{.}\)

  2. Sea \(D\) un DIP y sean \(a\) y \(b\) elementos distintos de cero en \(D\text{.}\) Demuestre que existen elementos \(s\) y \(t\) en \(D\) tales que \(\gcd(a, b) = as + bt\text{.}\)

13.

Sea \(D\) un dominio integral. Defina una relación en \(D\) como \(a \sim b\) si \(a\) y \(b\) son asociados en \(D\text{.}\) Demuestre que \(\sim\) es una relación de equivalencia en \(D\text{.}\)

14.

Sea \(D\) un dominio Euclideano con valuación Euclideana \(\nu\text{.}\) Si \(u\) es una unidad en \(D\text{,}\) demuestre que \(\nu(u) = \nu(1)\text{.}\)

15.

Sea \(D\) un dominio Euclideano con valuación Euclideana \(\nu\text{.}\) Si \(a\) y \(b\) son asociados en \(D\text{,}\) demuestre que \(\nu(a) = \nu(b)\text{.}\)

Pista

Sea \(a = ub\) con \(u\) una unidad. Entonces \(\nu(b) \leq \nu(ub) \leq \nu(a)\text{.}\) Similarmente, \(\nu(a) \leq \nu(b)\text{.}\)

16.

Muestre que \({\mathbb Z}[\sqrt{5}\, i]\) no es un dominio de factorización única.

Pista

Muestre que 21 se puede factorizar de dos formas diferentes.

17.

Demuestre o refute: Todo subdominio de un DFU también es un DFU.

18.

Un ideal \(I\) en un anillo conmutativo \(R\) es finitamente generado si existen elementos \(a_1, \ldots, a_n\) en \(I\) de manera que cada elemento \(r \in I\) pueda escribirse como \(a_1 r_1 + \cdots + a_n r_n\) para ciertos \(r_1, \ldots, r_n\) en \(R\text{.}\) Demuestre que \(R\) satisface la condición de cadenas ascendentes si y solo si todo ideal de \(R\) es finitamente generado.

19.

Sea \(D\) un dominio integral en el que para cualquier cadena descendente de ideales \(I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots\text{.}\) existe \(N\) tal que \(I_k = I_N\) para todo \(k \geq N\text{.}\) Un anillo que satisface esta condición se dice que satisface la condición de cadenas descendentes, o CCD. Anillos que satisfacen la CCD se llaman anillos Artinianos, en honor a Emil Artin. Muestre que si \(D\) satisface la condición de cadenas descendentes, entonces también satisface la condición de cadenas ascendentes.

20.

Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad. Definimos un subconjunto multiplicativo de \(R\) como un subconjunto \(S\) tal que \(1 \in S\) y \(ab \in S\) si \(a, b \in S\text{.}\)

  1. Definamos una relación \(\sim\) en \(R \times S\) como \((a, s) \sim (a', s')\) si existe \(s^\ast \in S\) tal que \(s^\ast(s' a -s a') =0\text{.}\) Muestre que \(\sim\) es una relaión de equivalencia en \(R \times S\text{.}\)

  2. Denotems por \(a/s\) a la clase de equivalencia de \((a,s) \in R \times S\) y sea \(S^{-1}R\) el conjunto de todas las clases de equivalencia respecto a \(\sim\text{.}\) Definamos las operaciones de adición yb multiplicación en \(S^{-1} R\) como

    \begin{align*} \frac{a}{s} + \frac{b}{t} & = \frac{at + b s}{s t}\\ \frac{a}{s} \frac{b}{t} & = \frac{a b}{s t}, \end{align*}

    respectivamente. Demuestre que estas operaciones están bien-definidas en \(S^{-1}R\) y que \(S^{-1}R\) es un anillo con identidad bajo estas operaciones. El anillo \(S^{-1}R\) se llama anillo de cocientes de \(R\) respecto a \(S\text{.}\)

  3. Muestre que la función \(\psi : R \rightarrow S^{-1}R\) definida por \(\psi(a) = a/1\) es un homomorfismo de anillos.

  4. Si \(R\) no tiene divisores de cero y \(0 \notin S\text{,}\) muestre que \(\psi\) es 1-1.

  5. Demuestre que \(P\) es un ideal primo de \(R\) si y solo si \(S = R \setminus P\) es un subconjunto multiplicativo de \(R\text{.}\)

  6. Si \(P\) es un ideal primo de \(R\) y \(S = R \setminus P\text{,}\) muestre que el anillo de cocientes \(S^{-1}R\) tiene un único ideal maximal. Cualquier anillo que tiene un único ideal maximal se llama anillo local.