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Sección 4.4 Ejercicios

1.

Demuestre o refute cada una de las siguientes proposiciones.

  1. Todos los generadores de \({\mathbb Z}_{60}\) son primos.

  2. \(U(8)\) es cíclico.

  3. \({\mathbb Q}\) es cíclico.

  4. Si todo subgrupo propio de un grupo \(G\) es cíclico, entonces \(G\) es un grupo cíclico.

  5. Un grupo con un número finito de subgrupos es finito.

Pista

(a) Falso; (c) falso; (e) verdadero.

2.

Encuentre el orden de cada uno de los siguientes elementos.

  1. \(5 \in {\mathbb Z}_{12}\)

  2. \(\sqrt{3} \in {\mathbb R}\)

  3. \(\sqrt{3} \in {\mathbb R}^\ast\)

  4. \(-i \in {\mathbb C}^\ast\)

  5. 72 en \({\mathbb Z}_{240}\)

  6. 312 en \({\mathbb Z}_{471}\)

Pista

(a) 12; (c) infinito; (e) 10.

3.

Liste todos los elementos en cada uno de los siguientes subgrupos.

  1. El subgrupo de \({\mathbb Z}\) generado por 7

  2. El subgrupo de \({\mathbb Z}_{24}\) generado por 15

  3. Todos los subgrupos de \({\mathbb Z}_{12}\)

  4. Todos los subgrupos de \({\mathbb Z}_{60}\)

  5. Todos los subgrupos de \({\mathbb Z}_{13}\)

  6. Todos los subgrupos de \({\mathbb Z}_{48}\)

  7. El subgrupo generado por 3 en \(U(20)\)

  8. El subgrupo generado por 5 en \(U(18)\)

  9. El subgrupo de \({\mathbb R}^\ast\) generado por 7

  10. El subgrupo de \({\mathbb C}^\ast\) generado por \(i\) con \(i^2 = -1\)

  11. El subgrupo de \({\mathbb C}^\ast\) generado por \(2i\)

  12. El subgrupo de \({\mathbb C}^\ast\) generado por \((1 + i) / \sqrt{2}\)

  13. El subgrupo de \({\mathbb C}^\ast\) generado por \((1 + \sqrt{3}\, i) / 2\)

Pista

(a) \(7 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -7, 0, 7, 14, \ldots \}\text{;}\) (b) \(\{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}\text{;}\) (c) \(\{ 0 \}\text{,}\) \(\{ 0, 6 \}\text{,}\) \(\{ 0, 4, 8 \}\text{,}\) \(\{ 0, 3, 6, 9 \}\text{,}\) \(\{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\text{;}\) (g) \(\{ 1, 3, 7, 9 \}\text{;}\) (j) \(\{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\)

4.

Encuentre los subgrupos de \(GL_2( {\mathbb R })\) generados por cada una de la siguientes matrices.

  1. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)

  2. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1/3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\)

  3. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

  4. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

  5. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)

  6. \(\displaystyle \begin{pmatrix} \sqrt{3}/ 2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}\)

Pista

(a)

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

(c)

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
5.

Encuentre el orden de cada elemento en \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\)

6.

Encuentre el orden de cada elemento en el grupo de simetrías del cuadrado, \(D_4\text{.}\)

7.

¿Cuáles son todos los subgrupos cíclicos del grupo de los cuaterniones, \(Q_8\text{?}\)

8.

Liste todos los subgrupos cíclicos de \(U(30)\text{.}\)

9.

Liste todos los generadores de cada subgrupo de orden 8 en \({\mathbb Z}_{32}\text{.}\)

10.

Encuentre todos los elementos de orden finito en cada uno de los siguientes grupos. Acá el “\(\ast\)” indica el conjunto sin el cero.

  1. \({\mathbb Z}\)

  2. \({\mathbb Q}^\ast\)

  3. \({\mathbb R}^\ast\)

Pista

(a) \(0\text{;}\) (b) \(1, -1\text{.}\)

11.

Si \(a^{24} =e\) en un grupo \(G\text{,}\) ¿cuáles son los posibles órdenes de \(a\text{?}\)

Pista

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

12.

Encuentre un grupo cíclico con exactamente un generador. ¿Puede encontrar grupos cíclicos con exactamente dos generadores? ¿Cuatro generadores? ¿Con exactamente \(n\) generadores?

13.

Para \(n \leq 20\text{,}\) ¿cuáles grupos \(U(n)\) son cíclicos? Conjeture qué se cumple en general. ¿Puede demostrar su conjetura?

14.

Sean

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{equation*}

elementos en \(GL_2( {\mathbb R} )\text{.}\) Muestre que \(A\) y \(B\) tienen orden finito pero que \(AB\) tiene orden infinito.

15.

Evalúe.

  1. \((3-2i)+ (5i-6)\)

  2. \((4-5i)-\overline{(4i -4)}\)

  3. \((5-4i)(7+2i)\)

  4. \((9-i) \overline{(9-i)}\)

  5. \(i^{45}\)

  6. \((1+i)+\overline{(1+i)}\)

Pista

(a) \(-3 + 3i\text{;}\) (c) \(43- 18i\text{;}\) (e) \(i\)

16.

Convierta los siguientes números complejos a la forma \(a + bi\text{.}\)

  1. \(2 \cis(\pi / 6 )\)

  2. \(5 \cis(9\pi/4)\)

  3. \(3 \cis(\pi)\)

  4. \(\cis(7\pi/4) /2\)

Pista

(a) \(\sqrt{3} + i\text{;}\) (c) \(-3\text{.}\)

17.

Escriba la representación polar de los siguientes números complejos.

  1. \(1-i\)

  2. \(-5\)

  3. \(2+2i\)

  4. \(\sqrt{3} + i\)

  5. \(-3i\)

  6. \(2i + 2 \sqrt{3}\)

Pista

(a) \(\sqrt{2} \cis( 7 \pi /4)\text{;}\) (c) \(2 \sqrt{2} \cis( \pi /4)\text{;}\) (e) \(3 \cis(3 \pi/2)\text{.}\)

18.

Calcule cada una de las siguientes expresiones.

  1. \((1+i)^{-1}\)

  2. \((1 - i)^{6}\)

  3. \((\sqrt{3} + i)^{5}\)

  4. \((-i)^{10}\)

  5. \(((1-i)/2)^{4}\)

  6. \((-\sqrt{2} - \sqrt{2}\, i)^{12}\)

  7. \((-2 + 2i)^{-5}\)

Pista

(a) \((1 - i)/2\text{;}\) (c) \(16(i - \sqrt{3}\, )\text{;}\) (e) \(-1/4\text{.}\)

19.

Demuestre cada una de las siguientes proposiciones.

  1. \(|z| = | \overline{z}|\)

  2. \(z \overline{z} = |z|^2\)

  3. \(z^{-1} = \overline{z} / |z|^2\)

  4. \(|z +w| \leq |z| + |w|\)

  5. \(|z - w| \geq | |z| - |w||\)

  6. \(|z w| = |z| |w|\)

20.

Liste y grafique las raíces sextas de la unidad. ¿Cuáles son los generadores de este grupo? ¿Cuáles son las raíces sextas primitivas de la unidad?

21.

Liste y grafique las raíces quintas de la unidad. ¿Cuáles son los generadores de este grupo? ¿Cuáles son las raíces quintas primitivas de la unidad?

22.

Calcule cada uno de los siguientes.

  1. \(292^{3171} \pmod{ 582}\)

  2. \(2557^{ 341} \pmod{ 5681}\)

  3. \(2071^{ 9521} \pmod{ 4724}\)

  4. \(971^{ 321} \pmod{ 765}\)

Pista

(a) 292; (c) 1523.

23.

Sean \(a, b \in G\text{.}\) Demuestre las siguientes proposiciones.

  1. El orden de \(a\) es el mismo que el orden de \(a^{-1}\text{.}\)

  2. Para todo \(g \in G\text{,}\) \(|a| = |g^{-1}ag|\text{.}\)

  3. El orden de \(ab\) es el mismo que el orden de \(ba\text{.}\)

24.

Sean \(p\) y \(q\) primos distintos. ¿Cuántos generadores tiene \({\mathbb Z}_{pq}\) ?

25.

Sea \(p\) primo y \(r\) un entero positivo. ¿Cuántos generadores tiene \({\mathbb Z}_{p^r}\) ?

26.

Demuestre que \({\mathbb Z}_{p}\) no tiene subgrupos propios no triviales si \(p\) es primo.

27.

Si \(g\) y \(h\) tienen orden 15 y 16 respectivamente en un grupo \(G\text{,}\) ¿Cuál es el orden de \(\langle g \rangle \cap \langle h \rangle \text{?}\)

Pista

\(|\langle g \rangle \cap \langle h \rangle| = 1\text{.}\)

28.

Sea \(a\) un elemento en un grupo \(G\text{.}\) ¿Qué elemento genera el subgrupo \(\langle a^m \rangle \cap \langle a^n \rangle\text{?}\)

29.

Demuestre que \({\mathbb Z}_n\) tiene un número par de generadores para \(n \gt 2\text{.}\)

30.

Supongamos que \(G\) es un grupo y sean \(a\text{,}\) \(b \in G\text{.}\) Demuestre que si \(|a| = m\) y \(|b| = n\) con \(\gcd(m,n) = 1\text{,}\) entonces \(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{ e \}\text{.}\)

31.

Sea \(G\) un grupo abeliano. Demuestre que los elementos de orden finito en \(G\) forman un subgrupo. Este subgrupo se llama subgrupo de torsión de \(G\text{.}\)

Pista

El elemento identidad en cualquier grupo tiene orden finito. Si \(g, h \in G\) tienen orden \(m\) y \(n\text{,}\) respectivamente, como \((g^{-1})^m = e\) y \((gh)^{mn} = e\text{,}\) se cumple que los elementos de orden finito en \(G\) forman un subgrupo de \(G\text{.}\)

32.

Sea \(G\) un grupo cíclico finito de orden \(n\) generado por \(x\text{.}\) Muestre que si \(y = x^k\) con \(\gcd(k,n) = 1\text{,}\) entonces \(y\) también es un generador de \(G\text{.}\)

33.

Si \(G\) es un grupo abeliano que contiene dos subgrupos cíclicos de orden 2, muestre que \(G\) debe contener un subgrupo de orden 4. ¿Es necesariamente cíclico este subgrupo?

34.

Sea \(G\) un grupo abeliano de orden \(pq\) con \(\gcd(p,q) = 1\text{.}\) Si \(G\) contiene elementos \(a\) y \(b\) de orden \(p\) y \(q\) respectivamente, entonces demuestre que \(G\) es cíclico.

35.

Demuestre que los subgrupos de \(\mathbb Z\) son exactamente \(n{\mathbb Z}\) para \(n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}\)

36.

Demuestre que los generadores de \({\mathbb Z}_n\) son los enteros \(r\) tales que \(1 \leq r \lt n\) y \(\gcd(r,n) = 1\text{.}\)

37.

Demuestre que si \(G\) no tiene subgrupos propios no triviales, entonces \(G\) es un grupo cíclico.

Pista

Si \(g\) es un elemento distinto de la identidad en \(G\text{,}\) entonces \(g\) debe generar todo \(G\text{;}\) de lo contrario, \(\langle g \rangle\) sería un subgrupo propio no trivial de \(G\text{.}\)

38.

Demuestre que el orden de un elemento en un grupo cíclico finito \(G\) debe dividir el orden del grupo.

39.

Demuestre que si \(G\) es un grupo cíclico de orden \(m\) y \(d \mid m\text{,}\) entonces \(G\) tiene un subgrupo de orden \(d\text{.}\)

40.

¿Para qué enteros \(n\) es \(-1\) una raíz \(n\)-ésima de la unidad?

41.

Si \(z = r( \cos \theta + i \sin \theta)\) y \(w = s(\cos \phi + i \sin \phi)\) son dos números complejos no nulos, muestre que

\begin{equation*} zw = rs[ \cos( \theta + \phi) + i \sin( \theta + \phi)]. \end{equation*}
42.

Demuestre que el grupo de la circunferencia es un subgrupo de \({\mathbb C}^*\text{.}\)

43.

Demuestre que las raíces \(n\)-ésimas de la unidad forman un subgrupo cíclico de \({\mathbb T}\) de orden \(n\text{.}\)

44.

Sea \(\alpha \in \mathbb T\text{.}\) Demuestre que \(\alpha^m =1\) y \(\alpha^n = 1\) si y solo si \(\alpha^d = 1\) para \(d = \gcd(m,n)\text{.}\)

45.

Sea \(z \in {\mathbb C}^\ast\text{.}\) Si \(|z| \neq 1\text{,}\) demuestre que el orden de \(z\) es infinito.

46.

Sea \(z =\cos \theta + i \sin \theta\) en \({\mathbb T}\) con \(\theta \in {\mathbb Q}\text{.}\) Demuestre que el orden de \(z\) es infinito.