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Sección 6.4 Ejercicios

1.

Supongamos que \(G\) es un grupo finito con un elemento \(g\) de orden 5 y un elemento \(h\) de orden 7. ¿Por qué debe ocurrir que \(|G| \geq 35\text{?}\)

Pista

El orden de \(g\) y el orden de \(h\) deben ambos dividir el orden de \(G\text{.}\)

2.

Supongamos que \(G\) es un grupo finito con 60 elementos. ¿Cuáles son los órdenes de posibles subgrupos de \(G\text{?}\)

Pista

Los órdenes posibles deben ser divisores de 60.

3.

Demuestre o refute: Todo subgrupo de los enteros tiene índice finito.

Pista

Esto es verdadero para todo subgrupo propio no trivial.

4.

Demuestre o refute: Todo subgrupo de los enteros tiene orden finito.

Pista

Falso.

5.

Liste las clases laterales izquierdas y derechas de los subgrupos en cada uno de los siguientes.

  1. \(\langle 8 \rangle\) en \({\mathbb Z}_{24}\)

  2. \(\langle 3 \rangle\) en \(U(8)\)

  3. \(3 {\mathbb Z}\) en \({\mathbb Z}\)

  4. \(A_4\) en \(S_4\)

  5. \(A_n\) en \(S_n\)

  6. \(D_4\) en \(S_4\)

  7. \({\mathbb T}\) en \({\mathbb C}^\ast\)

  8. \(H = \{ (1), (123), (132) \}\) en \(S_4\)

Pista

(a) \(\langle 8 \rangle\text{,}\) \(1 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(2 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(3 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(4 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(5 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(6 + \langle 8 \rangle\text{,}\) y \(7 + \langle 8 \rangle\text{;}\) (c) \(3 {\mathbb Z}\text{,}\) \(1 + 3 {\mathbb Z}\text{,}\) y \(2 + 3 {\mathbb Z}\text{.}\)

6.

Describa las clases laterales izquierdas de \(SL_2( {\mathbb R} )\) en \(GL_2( {\mathbb R})\text{.}\) ¿Cuál es el índice de \(SL_2( {\mathbb R} )\) en \(GL_2( {\mathbb R})\text{?}\)

7.

Verifique el Teorema de Euler para \(n = 15\) y \(a = 4\text{.}\)

Pista

\(4^{\phi(15)} \equiv 4^8 \equiv 1 \pmod{15}\text{.}\)

8.

Use el Pequeño Teorema de Fermat para mostrar que si \(p= 4n+3\) es primo, entonces no hay solución de la ecuación \(x^2 \equiv -1 \pmod{p}\text{.}\)

9.

Muestre que los enteros tienen índice infinito en el grupo aditivo de los números racionales.

10.

Muestre que el grupo aditivo de los números reales tiene índice infinito en el grupo aditivo de los números complejos.

11.

Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \(G\) y supongamos que \(g_1, g_2 \in G\text{.}\) Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes.

  1. \(g_1 H = g_2 H\)

  2. \(H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\)

  3. \(g_1 H \subset g_2 H\)

  4. \(g_2 \in g_1 H\)

  5. \(g_1^{-1} g_2 \in H\)

12.

Si \(ghg^{-1} \in H\) para todo \(g \in G\) y \(h \in H\text{,}\) muestre que las clases laterales izquierdas son idénticas a las clases laterales derechas. Es decir, muestre que \(gH = Hg\) para todo \(g \in G\text{.}\)

Pista

Sea \(g_1 \in gH\text{.}\) Muestre que \(g_1 \in Hg\) y por lo tanto \(gH \subset Hg\text{.}\)

13.

Que falla en la demostración del Teorema 6.1.8 si \(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\) está definida como \(\phi( gH ) = Hg\text{?}\)

14.

Supongamos que \(g^n = e\text{.}\) Muestre que el orden de \(g\) divide a \(n\text{.}\)

15.

Muestre que cualquiera dos permutaciones \(\alpha, \beta \in S_n\) tienen la misma estructura de ciclos si y solo si existe una permutación \(\gamma\) tal que \(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\text{.}\) Si \(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\) para algún \(\gamma \in S_n\text{,}\) entonces \(\alpha\) y \(\beta\) son conjugadas.

16.

Si \(|G| = 2n\text{,}\) demuestre que el número de elementos de orden 2 es impar. Use este resultado para demostrar que \(G\) debe contener un subgrupo de orden 2.

17.

Supongamos que \([G : H] = 2\text{.}\) Si \(a\) y \(b\) no están en \(H\text{,}\) muestre que \(ab \in H\text{.}\)

18.

Si \([G : H] = 2\text{,}\) demuestre que \(gH = Hg\text{.}\)

19.

Sean \(H\) y \(K\) subgrupos de un grupo \(G\text{.}\) Demuestre que \(gH \cap gK\) es una clase lateral de \(H \cap K\) en \(G\text{.}\)

Pista

Muestre que \(g(H \cap K) = gH \cap gK\text{.}\)

20.

Sean \(H\) y \(K\) subgrupos de un grupo \(G\text{.}\) Defina una relación \(\sim\) en \(G\) como \(a \sim b\) si existe un \(h \in H\) y un \(k \in K\) tales que \(hak = b\text{.}\) Muestre que esta relación es de equivalencia. Las clases de equivalencia correspondientes se llaman clases laterales dobles. Calcule las clases laterales dobles de \(H = \{ (1),(123), (132) \}\) en \(A_4\text{.}\)

21.

Sea \(G\) un grupo cíclico de orden \(n\text{.}\) Muestre que hay exactamente \(\phi(n)\) generadores para \(G\text{.}\)

22.

Sea \(n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}\text{,}\) donde \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) son primos distintos. Demuestre que

\begin{equation*} \phi(n) = n \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{p_2} \right)\cdots \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right). \end{equation*}
Pista

Si \(\gcd(m,n) = 1\text{,}\) entonces \(\phi(mn) = \phi(m)\phi(n)\) (Ejercicio 2.3.26 en el Capítulo 2).

23.

Muestre que

\begin{equation*} n = \sum_{d \mid n} \phi(d) \end{equation*}

para todo entero positivo \(n\text{.}\)