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Sección 14.4 Ejercicios

1.

Los Ejemplos 14.1.114.1.5 en la primera sección del capítulo describen cada uno, una acción de un grupo \(G\) en un conjunto \(X\text{,}\) que dará lugar a una relación de equivalencia definida como \(G\)-equivalencia. Para cada ejemplo, calcule las clases de equivalencia de la relación de equivalencia, las clases de \(G\)-equivalencia.

Pista

Ejemplo 14.1.1: \(0\text{,}\) \({\mathbb R}^2 \setminus \{ 0 \}\text{.}\) Ejemplo 14.1.2: \(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\text{.}\)

2.

Calcule todos los \(X_g\) y todos los \(G_x\) para cada uno de los siguientes grupos de permutaciones.

  1. \(X= \{1, 2, 3\}\text{,}\) \(G=S_3=\{(1), (12), (13), (23), (123), (132) \}\)

  2. \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}\) \(G = \{(1), (12), (345), (354), (12)(345), (12)(354) \}\)

Pista

(a) \(X_{(1)} = \{1, 2, 3 \}\text{,}\) \(X_{(12)} = \{3 \}\text{,}\) \(X_{(13)} = \{ 2 \}\text{,}\) \(X_{(23)} = \{1 \}\text{,}\) \(X_{(123)} = X_{(132)} = \emptyset\text{.}\) \(G_1 = \{ (1), (23) \}\text{,}\) \(G_2 = \{(1), (13) \}\text{,}\) \(G_3 = \{ (1), (12)\}\text{.}\)

3.

Calcule la clases de \(G\)-equivalençia de \(X\) para cada uno de los \(G\)-conjuntos en el Ejercicio 14.4.2. Para cada \(x \in X\) verifique que \(|G|=|{\mathcal O}_x| \cdot |G_x|\text{.}\)

Pista

(a) \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 = \{ 1, 2, 3\}\text{.}\)

4.

Sea \(G\) el grupo aditivo de los números reales. Considere la acción de \(\theta \in G\) en el plano real \({\mathbb R}^2\) dada por la rotación antihoraria del plano en \(\theta\) radianes en torno al origen. Sea \(P\) un punto del plano distinto del origen.

  1. Muestre que \({\mathbb R}^2\) es un \(G\)-conjunto.

  2. Describa geométricamente la órbita que contiene a \(P\text{.}\)

  3. Encuentre el grupo \(G_P\text{.}\)

5.

Sea \(G = A_4\) y supongamos que \(G\) actúa en sí mismo por conjugación; es decir, \((g,h)~\mapsto~ghg^{-1}\text{.}\)

  1. Determine las clases de conjugación (órbitas) de cada elemento de \(G\text{.}\)

  2. Determine los subgrupos de isotropía para todos los elementos de \(G\text{.}\)

6.

Encuentre las clases de conjugación y las ecuaciones de clase para cada uno de los siguientes grupos.

  1. \(S_4\)

  2. \(D_5\)

  3. \({\mathbb Z}_9\)

  4. \(Q_8\)

Pista

Las clases de conjugación para \(S_4\) son

\begin{gather*} {\mathcal O}_{(1)} = \{ (1) \},\\ {\mathcal O}_{(12)} = \{ (12), (13), (14), (23), (24), (34) \},\\ {\mathcal O}_{(12)(34)} = \{ (12)(34), (13)(24), (14)(23) \},\\ {\mathcal O}_{(123)} = \{ (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) \},\\ {\mathcal O}_{(1234)} = \{ (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432) \}. \end{gather*}

La ecuación de clase es \(1 + 3 + 6 + 6 + 8 = 24\text{.}\)

7.

Escriba la ecuación de clase para \(S_5\) y para \(A_5\text{.}\)

8.

¿De cuántas formas es posible colorear los vértices de un cuadrado usando tres colores?

Pista

\((3^4 + 3^1 + 3^2 + 3^1 + 3^2 + 3^2 + 3^3 + 3^3)/8 = 21\text{.}\)

9.

¿De cuántas formas es posible colorear los vértices de un triángulo equilátero usando tres colores?

10.

Encuentre el número de formas diferentes de poner los números del 1 al 6 en las seis caras de un cubo (cada número debe aparecer en exactamente una cara).

11.

¿De cuántas formas es posible colorear las caras de un cubo usando tres colores?

Pista

El grupo de movimientos rígidos del cubo puede ser descrito por las permutaciones permisibles de sus seis caras y es isomorfo a \(S_4\text{.}\) Están la identidad, 6 permutaciones con la estructura \((abcd)\) que corresponden a cuartos de vuelta, 3 permutaciones con la estructura \((ab)(cd)\) que corresponden a medias vueltas, 6 permutaciones con la estructura \((ab)(cd)(ef)\) que corresponden a rotar el cubo en torno a los centros de aristas opuestas, y 8 permutaciones con la estructura \((abc)(def)\) que corresponden a rotar el cubo en torno a vértices opuestos.

12.

Considere 12 varillas metálicas de igual longitud unidas para formar el equeleto de un cubo. Las varillas pueden ser de plata o de cobre. ¿De cuántas formas se puede construir este cubo?

13.

¿De cuántas formas es posible colorear los ocho vértices de un cubo usando tres colores?

14.

Cada una de las caras de un tetraedro regular puede ser pintada roja o blanca. Salvo rotaciones, ¿de cuántas formas diferentes puede ser pintado el tetraedro?

15.

¿De cuántas formas es posible colorear los vértices de un hexágono regular usando dos colores?

Pista

\((1 \cdot 2^6 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1)/12 = 13\text{.}\)

16.

Una molécula de benceno está compuesta de 6 átomos de carbono y 6 átomos de hidrógeno, unidos en forma hexagonal como se muestra en la Figura 14.4.1.

  1. ¿Cuántos compuestos diferentes se pueden formar reemplazando uno o más de los átomos de hidrógeno por un átomo de cloro?

  2. Encuentre el número de compuestos químicos que se pueden formar reemplazando tres de los seis átomos de hidrógeno en un anillo de benceno ppor un radical \(CH_3\text{.}\)

Figura 14.4.1. Un anillo de benceno
17.

¿Cuántas clases de equivalencia de funciones de conmutación existen si las variables de entrada \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) y \(x_3\) se pueden permutar usando cualquier elemento de \(S_3\text{?}\) ¿Si la variables de entrada \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) \(x_3\text{,}\) y \(x_4\) se pueden permutar usando cualquier elemento de \(S_4\text{?}\)

Pista

\((1 \cdot 2^8 + 3 \cdot 2^6 + 2 \cdot 2^4)/6 = 80\text{.}\)

18.

¿Cuántas clases de equivalencia de funciones de conmutación existen si las variables de entrada \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) \(x_3\text{,}\) y \(x_4\) se pueden permutar usando cualquier elemento del subgrupo de \(S_4\) generado por la permutación \((x_1 x_2 x_3 x_4)\text{?}\)

19.

Una corbata a rayas tiene 12 bandas de color. Cada banda puede ser coloreada con un de cuatro posibles colores. ¿Cuántas corbatas con coloreados diferentes existen?

20.

Un grupo actúa fielmente en un \(G\)-conjunto \(X\) si la identidad es el único elemento de \(G\) que deja fijo todos los elementos de \(X\text{.}\) Muestre que \(G\) actúa fielmente en \(X\) si y solo si no existen dos elementos distintos de \(G\) que actúen de la misma forma en todos los elementos de \(X\text{.}\)

21.

Sea \(p\) un primo. Muestre que el número de grupos abelianos diferentes de orden \(p^n\) (salvo isomorfismo) es el mismo que el número de clases de conjugación en \(S_n\text{.}\)

22.

Sea \(a \in G\text{.}\) Muestre que para cualquier \(g \in G\text{,}\) \(gC(a) g^{-1} = C(gag^{-1})\text{.}\)

Pista

Use el hecho de que \(x \in g C(a) g^{-1}\) si y solo si \(g^{-1}x g \in C(a)\text{.}\)

23.

Sea \(G\) un grupo no-abeliano con \(|G| = p^n\) donde \(p\) es un número primo. Demuestre que \(|Z(G)| \lt p^{n - 1}\text{.}\)

24.

Sea \(G\) un grupo de orden \(p^n\) donde \(p\) es primo y \(X\) es un \(G\)-conjunto finito. Si \(X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ para todo }g \in G \}\) es el conjunto de los elementos en \(X\) fijos por la acción del grupo, entonces demuestre que \(|X| \equiv |X_G| \pmod{ p}\text{.}\)

25.

Si \(G\) es un grupo de orden \(p^n\text{,}\) donde \(p\) es primo y \(n \geq 2\text{,}\) muestre que \(G\) tiene un subgrupo propio de orden \(p\text{.}\) Si \(n \geq 3\text{,}\) ¿es cierto que \(G\) tendrá un subgrupo propio de orden \(p^2\text{?}\)