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Sección 14.8 Ejercicios en Sage

1.

Construya el grafo de Higman-Sims con el comando graphs.HigmanSimsGraph(). Luego construya el grupo de automorfismos y determine el orden del subgrupo normal interesante de este grupo. Puede intentar mostrar el grafo, pero el dibujo probablemente no resulte muy informativo.

2.

Este ejercicio le pide verificar la ecuación de clase en una situación donde la acción del grupo no es por conjugación. Considere el ejemplo del grupo de automorfismos del camino de \(11\) vértices. Primero construya la lista de órbitas. De cada órbita, seleccione el primer elemento como su representante. Calcule el tamaño de la órbita como el índice del estabilizador del representante en el grupo por medio del Teorema 14.1.11. (Sí, podría simplemente calcular el tamaño de la órbita completa, pero la idea del ejercicio es usar resultados de naturaleza grupística.) Luego sume estos tamaños de órbitas, lo que debiese resultar en el tamaño del conjunto de vértices pues las órbitas forman una partición.

3.

Construya un grafo simple (sin bucles ni aristas múltiples), con al menos dos vértices y al menos una arista, cuyo grupo de automorfismos sea trivial. Puede comenzar a experimentar con dibujos en un papel antes de construir el grafo. Un comando similar al siguiente le permitirá construir un grafo a partir de sus aristas. El grafo de abajo es un triángulo o \(3\)-ciclo.

4.

Para los siguientes dos pares de grupos, obtenga la lista de representantes de clases de conjugación para cada grupo en el par. Para cada parte, compare y contraste los resultados para los dos grupos enel par, con comentarios bien pensados e interesantes.

  1. El grupo símetrico en 5 símbolos, \(S_5\text{,}\) y el grupo alternante en 5 símbolos, \(A_5\text{.}\)

  2. Los grupos dihedrales, \(D_{7}\) y \(D_{8}\text{.}\)

5.

Use el comando graphs.CubeGraph(4) para construir el grafo cúbico de dimensión cuatro, \(Q_4\text{.}\) Usando el comando .plot() debiera obtener un bonito gráfico. Construya el grupo de automorfismos del grafo, lo que dará una acción de grupo en el conjunto de vértices.

  1. Construya las órbitas de esta acción, y comente.

  2. Construya un estabilizador de un vértices (que es un subgrupo del grupo completo de automorfismos) y considere la acción de este grupo en el conjunto de vértices. Construya las órbitas de esta nueva acción, y comente cuidadosamente sobre sus observaciones, especialmente en términos de los vértices del grafo.

6.

Construya el grafo dado por el comando de abajo. El resultado debiera ser un grafo de apariencia simétrica con un grupo de automorfismos de orden \(16\text{.}\)

Repita las dos partes del ejercicio anterior, pero note que en la segunda parte ahora hay dos estabilizadores diferentes que crear. construya ambos y compare la diferencias entre los estabilizadores y sus órbitas. Crear un segundo gráfico con G.plot(layout='planar') puede proporcionar una mejor visión.